怎样解关于二面角问题
二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直,三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点,是高考的热点和难点。在总结时,若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结,对提高学生的数学思想方法是有帮助的,对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。为此我对这方面进行总结,以供教学和学习参考。
(一)对本内容进行思考时,必须弄清两个概念:
(1)什么是二面角,如何表示?而二面角的大小是可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.
(2)什么是二面角的平面角,如何表示?这一概念特别重要,要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角。,二面角的平面角的定义三个主要特征是:过棱上任意一点;分别
在两个面内作射线;射线垂直于棱。明白这一点对于能够作出或找出二面
角的平面是很关键。在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。
如图,0∈a,OA?α,OB?β,OA⊥a,OB⊥a。
(二)寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键,这也是个难点。在从图形中作出二面角的平面角时,要结合已知条件来对图形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析,确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形,然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种:定义法、三垂线法、垂面法。至于在求解有关平面角的问题时,这平面角通常是在三角形中,所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识,这包括正弦和余弦定理的知识,也会用到其它的平面几何知识。
(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角,当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。
例1:如图,立体图形V-ABC的四个面是全等的正三角形,画出二面角V-AB-C的平面角并求出它的度数。 分析:由图可知,所求的二面角的棱是AB,两个面是面VAB和面CAB。由已
知可知这是一个正四面体,各个面是全等的正三角形,根据二面角的平面角A
的定义,我们可利用正三角形的性质来找出平面角,取AB边上的中点D,连结VD和CD。则∠VDC是所求二面角的平面角。可设正三角形的边长为a,用
解三解形的知识求出VD=CD=3a,在△VDC中,利用余弦定理可求得cos
2∠VDC=1/3,∴∠VDC=arccos1/3 Q 评注:在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。在求解时利用的是平面几何解三角形的知识。这也就是把B 立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。
0.例2:在三棱锥P-ABC中,?APB=?BPC=?CPA=60,求二面角A-PB-C的余
C 弦值。
分析:所求二面角的棱是PB,两个面为面PBA和面PBC。用二面角的平面角的
定义找出平面角,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和半平面PBC1 上作QM?PB,QN?PB,则由定义可得?MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则A第1页(共4页) C
在Rt?PQM和Rt?PQN中可求得QM=QN=3
2a;又由?PQN??PQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,
在三角形MQN中由余弦定理得cos?MQN=1/3,即二面角的余弦值为1/3。
这样的类型是不少的,如下列几道就是利用定义法找出来的:
1、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角B-AC-B1的平面角并求出它的度数。
2、.边长为a的菱形ABCD ,∠ACB=60,现沿对角线BD将其折成才60的二面B角,则A、C之间的距离为 。(菱形两条对角线互相垂直,对折后的一条对
角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线,则所成的角是二面角的平面角)
3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4,过BC的一个平面与AA1交于D,若AD=3,
求二面角D―BC―A的正切值。
总之,能用定义法来找二面角的平面角的,一般是图形的性质较好,能够较001 CD
快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体,正三棱柱,正方体,以及一些平面图形,正三角形,等腰三角形,正方形,菱形等等,这些有较好的一些性质,可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角,通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角,再用解三角形的知识去求解。
(2)三垂线法:是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。
0例3:如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,AC=BC=1,∠ACB=90,M是PB的中点。(1)
求证:BC⊥PC,(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。 分析:第1小题较简单。第2小题,观察图形中的线面位置关系,已知PA⊥平
面ABC,M是PB的中点,若在△PAB中取AB的中点N,则很快发现MN⊥平面ABC,C 作KN⊥AC,连MK,则由三垂线定理可得MK⊥AC,所以∠MKN为所求的二面角的
平面角。而求其正切值,在Rt△MNK中求出MN和KN,而求MN和KN,只需在△B PAB和△ABC中就可求出,从而求出其正切值为2。 N 评注:本题用定义法较难以实现,但由图可找到二面角一个面的垂线。从而作棱的垂线,由三垂线定理证明是所要找的平面角。关键找到MN这条垂线。 例4:如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,
AM⊥SB于M,AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求证∠ANM是二面角M A-SC-B的平面角. C 分析:由图和题意可得BC⊥平面SAB,从而可得证平面SAB⊥平面SBC,而要证
二面角A-SC-B的平面角是∠ANM,从已知条件AM⊥SB于M,由两个平面垂直的
性质可得AM⊥平面SBC,又有AN⊥SC,所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC,从而
证明了∠ANM是二面角A-SC-BC的平面角.
评注:本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二面角的一个面的垂线,再由三垂线的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的,所以观察分析图时要注意多运用有关定理去判断。
0本题可变形为:如图,已知△ABC中,AB⊥BC,S为平面ABC外的一点,SA⊥平面ABC,∠ACB=60,
SA=AC=a,(1)求证平面SAB⊥平面SBC (2)求二面角A-SC-BC的正弦值.
解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角,然后利用各个直角三角形求出AN和AM的长。 总之,在运用三垂线找平面角时,找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理,第2页(共4页)
按三垂线的条件,一垂线垂直二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交,交点在二面角的面内。
(3)垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与两二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。 例5:如图在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的度数。
分析:由题意和图,可得SC⊥平面BDE,则SC⊥DB,又SA⊥平面ABC,则. SA⊥DB,从而得BD⊥平面SAC。所以BD⊥DC,BD⊥DE,则∠DEC是二面角的平面角。要求它的度数,可在Rt△SAC和△DEC中求,先求出∠SCA的度数。设SA=a,在图的直角三角形中求出SB=BC=2a,AC=3a,故得
00B 到∠SCA=30,从而得到∠DEB=60。
评注:本题的垂直关系很多,如何利用好这些关系?这需解题的目标要明确才能运用好这些关系。从这些垂直关系很容易就判定BD⊥平面SAC,而BD是二面角的的棱,所以平面SAC是二面角的垂面,由二面角的平面角的定义就找到了∠EDC是所求二面角的平面角。它的应用例如:
如图,AC??,BD??,α与β所成的角为60,AC?l于C,BD?l于B,AC=3,BD=4,0
CD=2,求A、B两点间的距离。
由题意要应用二面角的度数,要找出它的平面角,可过C作
CE∥DB,且CE=DB,连AE,则很容易得到l⊥面ACE,∠ACE
是二面角的平面角,为了求AB,连BE,在△ACE中由余弦定
理求出AE,在Rt△AEB中可求出AB的长。 α l B E 总之要会运用此法,对线线、线面、面面的垂直关系要有很好的判断能力,才能找到解的思路。
(三)寻找无棱二面角的平面角的方法和求解。
无棱的二面角一般是只已知一个共点,但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角,则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱,化为有棱二面角问题,再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类:一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角(两条在同一平面内且不平行)。那么延长这两条线有一交点,根据公理2,这点在二面角的棱上,连公共点和这点就是二面角的棱;另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行,所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4,可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线,那么所作的直线是二面角的棱。 例5:如图,△ABC在平面上的射影为正△AB1C1,若BB1=1
2,
0CC1=AB1=1,求平面ABC与平面AB1C1所成锐角二面角的大小。 分析:所求的二面角只各一个公共点A,观察图可知二面角的两个面内BC和B1C1共面但不平行,所以若延长它们必交于一点D,由公理2知,点D在二面角的棱上。所以连AD就找到棱。接着是找出二面角的平面角。由图形的性质知,C1D=2B1C1=2,A1C1=1,∠AC1B=60,用正弦定理或余弦
定理都可求出∠C1AD=90,再由三垂线定理得∠CAC1为二面角的平面
角,然后在Rt△CAC1中可求得∠CAC1=45。
评注:本题是属于第一类的问题。延长两条直线交于一点从而得到棱,
再用三垂线法找二面角的平面角。此题可变为:
第3页(共4页) C1 1 00
如图,在底面是直角梯形的立体图S-ABCD中,∠ABC=90,SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的平面角的正切值。
由图可知二面角有一个公共点S,但在两面中的AB和CD共面且不平行,
所以延长交于点E。再由题意证明BC⊥平面SAB,SB⊥SE,由三垂线定理可知∠BSC是所求的二面角。在Rt△SBC中可求得正切值为2
20。
例6:如图,在所给的空间图形中ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD=AD。求平面PAD和PBC所成的二面角的大小。
分析:由图知二面角有一个公共点P,在两面内的AD和BC是共面且平行,E 所以AD∥平面PBC,由直线和平面平行的性质知,过AD的平面PAD与平
面平面PBC的交线(即为二面角的棱)与AD平行,所以过P作PE∥AD,D
则PE为二面角的棱。由题意PD⊥面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥PE,又可
证得CD⊥平面PAD,由三垂线定理可得∠CPD为所求二面角的平面角。在A B 0Rt△CPD中可求得∠CPD=45。
评注:本题是属于第二类的问题。二面角有一个共点,在分别两面内的两条直线平行,则平行于棱。找出二面角的棱后,再用三垂线法找二面角的平面角。 10例7:如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成60角,侧C1面BCC1B1⊥面ABC,求平面AB1C1与底面ABC所成的二面角的大小。
分析:此题A是二面角的一个公共点。又在两面的BC和B1C1平行,故过点A
作AE∥BC,则AE为二面角的棱。如何找平面角是本题的难点。因为各棱长都相等,所以侧面是菱形,底面是正三角形。又侧面BCC1B1⊥面ABC,过C10D 作C1D⊥BC,由两平面垂直的性质得C1D⊥面ABC,侧棱与底面成60角,所
0以∠C1CD=60,由此可得D为BC的中点。连AD得AD⊥BC,从而AD⊥AE,由三垂线定理得∠C1AD为
0二面角的平面角,在Rt△C1AD中可求得∠C1AD=45。
评注:本题除了要找棱外,用三垂线法找平面角时,关键在能分析已知条件的作用,来找垂线,和利用直线和平面所成的角来推算出点D为BC的中点,从而可用三垂线法找出平面角。
总之,无棱的二面角按两类的方法找出棱,转化为有棱的二面角问题来解。
从上面几个例题的分析和介绍的方法中,可以看出,二面角问题可以综合较多知识点,可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识,要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角,然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的,解这类题,找平面角是关键的一步,要注意运用题中的条件分析图形,然后用有关的方法找出平面角,计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。
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第二篇:二面角的平面角求法探究
一劂解题方法与技巧…………………………………………………………………………
中学教学参考
二。面。角的平面角求法探究
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‘广西南宁市第二中学(530022)
梁寿奖
高中立体几何巾二面角的平面角的求解是立体几何教学中的霞点和难点,也是历年高考的热点、重点和难点,所以对其解法作一个探究,无论是对一名普通的中学数学教师,还是一名高中学生来说,都是很有必要的.对它进行一次探究将为我们解决此类问题指明方向,提供方法和思路,使得我们能在最短的时间内快速、准确地解决此类问题.本人经过多年的教学探究发现,它的解法归纳起来有五种.为了突出这五种解法的思想方法、思路和要点,本文将以最简单的例题为载体进行分析和探究.
一、定义法
即用定义求解.“棱上一点”往往考虑两端,中点或
比例点.
【例l】
在边长为Ⅱ的正三角形ABC中,AD上BC,
沿AD将△ABD折起,若AD折起后,点B、C间的距离
为吉口,求二面角B—AD~c的大小.
B
△一么
D
C
D
C
图1
、
解析:棱七一点,考虑端点D,由折前折后的关系,
我们知道么BDA一号,么cDA2号,..?么BDc为所求的
二面角的平面角.
在△BDc中,依题意有BD一号,Dc=号,Bc一号,
...△BDc为正三角形,.‘.么BDC=詈,所以二面角B—
o
AD—C的大小为詈.
o
二、三垂线定理法
1.当有垂线时:过二面角一个半平面内的一点P,找到或作出另一个半面的垂线,记垂足为H。,再过H,(或P)作棱Z的垂线,记垂足为H:,连PH。(或H,H2),由三垂线定理(或逆定理),可知么PH:H.即为二面角的平面角.(如图2)
名名
图2
图3
2.当有垂面时:过二面角一个半平面内的一点P,
78
Ii卜学教学参考‘上旬’201
万方数据
o。5总第49期
找到或作出另一个半平面的垂面,记该垂面与第二个半平面的交线为跏,过P在该垂面中作交线研的垂线,设垂足为H。,由面面垂直的性质定理知,PH,垂直于第二半平面,再过H,(或P)作棱的垂线,记垂足为Hz,连PH。(或H。H:),由毛垂线定理(或逆定理),可知么PH:H。即为二面角的平面角.(如图3)
【例2】如图4,正方形面互相垂直,AB=√2,AF=1.求二面角A—DF—B的大小.
D
A
解析:由已知可知,FA上图4
面ABCD,.’.FA上AB,又AB上AD,.‘.BA上面AFD,可
用三垂线定理法求解.
过A作AH垂直DF于H,连结HB,由三垂线定理知BHj_DF.
.‘.么AHB为二面角A—DF—B的平面角.
掣一墨.又AB:厄,
在Rt△AFD中,由面积法为:AH=掣=
√3
√3
?‘.ta眨BHA=筹一篑=厄.
√i
.‘.么BHA=60。,即二面角A—DF—B的大小为
60。.
【例3】如图5,PA上平面
=厄求二面角A—PB—C的大
解析:由已知PA上平面
ABCD和矩形ACEF所在平ABC,AC上BC,PA=AC=1,BC
,J、.
………………………………一………………………………………………解题方法与技巧棼黥“躺勰蝴#m瑚∞%眦j“%醐—黪
ZHoNGXUEJIAo)cIJECANKAo
在Rt△4Bc中,由面积法有:cH=警一
^丽矗?
!丕焦一垣.
在Rt△PBc中,由面积法有:CD=£;著堡=
遁圣垣:羔:,n
‘‘
√1+(捂)2
,————————————一z
焦
在Rt△cHD中商n么CDH一髫一年一譬,
...么cDH=arcsin等.
...二面角A—PB—c的大小为arcsin竿.
三、垂面法
如果一个平面过二面角棱上一点且与公共棱相互垂直,则该垂面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角.
图6
【例4】如图7所示,已知四边形PABC为空间四边形,么PCA=90。,△ABC是边长为2√3的正三角形,PC=2,D、E分别是PA、AC的中点,BD= ̄/lo,试判断直线AC与BDE平面的位置关系,并求出二面角P—AC—B的大小。
解析:易证直线AC上平面BDE,所以面BDE与二面角P—AC—B的交线BE与DE所成角即为二面角P—AC—B的平面角.
在△D髓中,舾=1,BE
=3,BP= ̄/lO,
...BD2=BE2+蹭,
,
...么DEB=要,
.
●
即二面角P—AC—B的大
小为罢.
四、面积投影法
所求二面角的平面角口:co妇o
如图8,设△PAB在平面口内的投影为△ABQ,则PQJ-a,过Q作QH上AB于H,连PH,由三垂线定理可知,
口
么PHQ为二面角P—AB—Q
矽匆
a
图8
的平面角..’.导邋=
万方数据
罂一器…,且
丢AB?PH
PH…驯¨
D
解析:由已知,易证DA上面
曰
c
PAB,CB上面PAB,...△PcD在平图9
面PBA的射影为△PBA.
设平面PAB与平面P(D所成的角为口。
肌一舞。嚣书一45。?
即平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为
45。.
五、向量求解法
(1)A、B是二面角口一Z—p棱上的两点,ACc口,AC
上z,BDcp,BD上z,则向量砣与向量面的夹角,即为二
面角口一Z—p的平面角;(如图10)
妨岱
图10
图11
(2)设n。、嘞分别是二面角口一Z一卢的面口、卢的法向量,则向量n。与疗:的夹角,即为二面角吐一z—p的平面角或其补角(需要根据具体情况判断相等或互补).(如
图11)
【例6】(例3的向量解法①)如图12,PA上平面
ABC,ACJ-BC,尸A—PC=l,BC=√2,求二面角A—PB—C的大小.
解析:在△PAB中过A作AE上PB,垂足为E,在
△PBC中,过C作于CD上PB于D,则向量蕊与向量
D考的夹角即为二面角A—PB—C的平面角的大小.
【例7】(例3的向量解法
②)如图12,PA上平面ABC,
AC上BC,融一PC=1,BC=
小.
戈
分析:以A为坐标原点,建
图13
立空间直角坐标系A—zy2,分别把平面PAB和平面PBC法向鼍n,和咒。求出来,再求(露1,肛。>的大小,最后求二面角A—PB—C的大小.
(责任编辑金铃)
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√2,求二面角A—PB—C的大
二面角的平面角求法探究作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):梁寿奖广西南宁市第二中学,530022中学教学参考REFERENCE FOR MIDDLE SCHOOL EDUCATION2010(13)
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