一、平面与平面的垂直关系
1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 例1.在空间四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。
求证:平面BEF^平面BDG。
C
例2.AB^平面BCD,BC=CD,?BCD 求证:平面BEF^平面ABC 。
90,E、F分别是AC、AD的中点。
°
2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二、二面角的基本求法
1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
C1
C1
求(1)二面角A-B1C-A1的大小;
(2)平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
练习:过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD,设PA=AB=a,
求二面角B-PC-D的大小。
2.三垂线法
1
例5.平面ABCD^平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形且AF=
(1)求证:平面AGC^平面BGC; (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值; (3)求二面角B-AC-G的大小。
例6.点P在平面ABC外,?ABC是等腰直角三角形,?ABC
(1)求证:平面PAB^平面ABC; (2)求二面角P-AC-B的大小。
12
AD=a,G是EF的中点,
°
90,?PAB是正三角形,PA^BC。
练习:正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD1-P的大小。
B1
3.垂面法
例7.SA^平面ABC,AB^BC,SA=AB=BC, (1)求证:SB^BC;
(2)求二面角C-SA-B的大小;
(3)求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱
例8.过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD,设PA=AB=a, 求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
2
(2)射影面积法(cosq=s射影
S)
例9.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是棱AA1的中点,
求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
角,PA地M成30°1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点,P是N内一点,PB^a与B,PA与a成45°
角,则二面角M—a—N的度数是
B、45° C、60° D、75°A、 30°
2、正四面体相邻两面所成二面角为a,则有
A、cosa=1/3 B、sina=1/3 C、cosa= EQ R(,3) /3 D、sina= EQ R(,3) /3
3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1,OB=2,OC=3,则a与平面OAB所成角的余弦值是
A、2/7 B、3/7 C、6/7 D、不同于A、B、C
4、两二面角的两个半平面分别垂直,则这两个二面角的平面
A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定
和30°的角,则平面ABC与a所成的角为________5、RtDABC斜边AB在平面a内,AC、BC与a成45°
_
6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角,连结AC,则二面角A—CD—B的大小为________ 7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3,则侧面与底面所成的二面角为________
8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD,且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心,若PA=AB=1,BC= EQ R(,2) ,则面PAB与面ABC所成的二面角为_______
9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为 EQ R(,2) , EQ R(,3) 到棱的距离为2,求此二面角的大小
3
10、四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB//CD,AB^BC且AB= EQ F(1,2) CD,侧棱PB^面ABCD,PC=5,BC=3,SDPAB=6。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小
11.如图,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.
12.过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a 求(1)二面角B-PC-D的大小;(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小.
13、如图,ΔABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P—AC—B的大小为45°。求(1)二面角P—BC—A的大小;(2)二面角C—PB—A的大小
14、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α,
B、C在平面α的同侧,且与α的距离分别是4和2,求平面ABC与α所成的角的正弦值。 15、如图,设M为正方体
ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,求平面BMD1与
底面ABCD所成的 二面角的大小。
4
5
第二篇:二面角的基本求法例题及练习1
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桂林十八中立体几何二面角的求法
一、平面与平面的垂直关系
1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
例1.在空间四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。
求证:平面BEF^平面BDG。
例2.AB^平面BCD,BC=CD,?BCD 求证:平面BEF^平面ABC 。
90°,E、F分别是AC、AD的中点。
C1
2.性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二、二面角的基本求法
1.定义法:在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4.在正方体ABCD—A1B1
C1D1中, 求(1)二面角A-B1C-A1的大小;
(2)平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
练习:过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD,设PA=AB=a,
求二面角B-PC-D的大小。
2.三垂线法
例5.平面ABCD^平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩AF=
1
AD=a,G是EF的中点, 2
C1
(1)求证:平面AGC^平面BGC; (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值;
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B
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(3)求二面角B-AC-G的大小。
例6.点P在平面ABC外,?ABC是等腰直角三角形,?ABC
(1)求证:平面PAB^平面ABC; (2)求二面角P-AC-B的大小。
90°,?PAB是正三角形,PA^BC。
C
练习:正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点,求二面角A-BD1-P的大小。
B1
A
B
3.垂面法
例7.SA^平面ABC,AB^BC,SA=AB=BC, (1)求证:SB^BC;
(2)求二面角C-SA-B的大小;
(3)求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
4.无棱二面角的处理方法 (1)找棱
例8.过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD,设PA=AB=a, 求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
(2)射影面积法(cosq=
s射影S
)
例9.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是棱AA1的中点, 求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
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