一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。
求证：平面BEF^平面BDG。
例2．AB^平面BCD，BC=CD，?BCD 求证：平面BEF^平面ABC 。
90°，E、F分别是AC、AD的中点。
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二、二面角的基本求法
1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
C1
C1
求（1）二面角A-B1C-A1的大小；
（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a，
求二面角B-
2．三垂线法
PC-D的大小。
B
1
例5．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=
（1）求证：平面AGC^平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；
（3）求二面角B-AC-G的大小。
例6．点P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC
（1）求证：平面PAB^平面ABC；
（2）求二面角P-AC-B的大小。
1AD=a，G是EF的中点， 290°，?PAB是正三角形，PA^BC。
练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。
B1
3．垂面法
例7．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，
（1）求证：SB^BC；
（2）求二面角C-SA-B的大小；
（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
4．无棱二面角的处理方法
（1）找棱 例8．过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a， 求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
2
（2）射影面积法（cosq=s射影
S）
例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱AA1的中点，
求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
角，PA地M成30°1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°
角，则二面角M—a—N的度数是
B、45° C、60° D、75°A、 30°
2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有
A、cosa=1/3 B、sina=1/3 C、cosa= EQ R(,3) /3 D、sina= EQ R(,3) /3
3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB所成角的余弦值是
A、2/7 B、3/7 C、6/7 D、不同于A、B、C
4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面
A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定
和30°的角，则平面ABC与a所成的角为________5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°
_
6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________ 7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________
8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若PA=AB=1，BC= EQ R(,2) ，则面PAB与面ABC所成的二面角为_______
9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为 EQ R(,2) ， EQ R(,3) 到棱的距离为2，求此二面角的大小
3
10、四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB^BC且AB= EQ F(1,2) CD，侧棱PB^面ABCD，PC=5，BC=3，SDPAB=6。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小
11.如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
12．过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
13、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小
14、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，
B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 15、如图，设M为正方体
ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与
底面ABCD所成的 二面角的大小。
4
第二篇：二面角的基本求法例题及练习
一、平面与平面的垂直关系
1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。
求证：平面BEF^平面BDG。
C
例2．AB^平面BCD，BC=CD，?BCD 求证：平面BEF^平面ABC 。
90，E、F分别是AC、AD的中点。
°
2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二、二面角的基本求法
1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
C1
C1
求（1）二面角A-B1C-A1的大小；
（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
练习：过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a，
求二面角B-PC-D的大小。
2．三垂线法
1
例5．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=
（1）求证：平面AGC^平面BGC； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值； （3）求二面角B-AC-G的大小。
例6．点P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC
（1）求证：平面PAB^平面ABC； （2）求二面角P-AC-B的大小。
12
AD=a，G是EF的中点，
°
90，?PAB是正三角形，PA^BC。
练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。
B1
3．垂面法
例7．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC， （1）求证：SB^BC；
（2）求二面角C-SA-B的大小；
（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱
例8．过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a， 求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
2
（2）射影面积法（cosq=s射影
S）
例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱AA1的中点，
求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。
角，PA地M成30°1、A、B是二面角M—a—N的棱a上两点，P是N内一点，PB^a与B，PA与a成45°
角，则二面角M—a—N的度数是
B、45° C、60° D、75°A、 30°
2、正四面体相邻两面所成二面角为a，则有
A、cosa=1/3 B、sina=1/3 C、cosa= EQ R(,3) /3 D、sina= EQ R(,3) /3
3、已知两两垂直的三射线OA、OB、OC交平面a于A、B、C若OA=1，OB=2，OC=3，则a与平面OAB所成角的余弦值是
A、2/7 B、3/7 C、6/7 D、不同于A、B、C
4、两二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的平面
A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定
和30°的角，则平面ABC与a所成的角为________5、RtDABC斜边AB在平面a内，AC、BC与a成45°
_
6、以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连结AC，则二面角A—CD—B的大小为________ 7、正三棱锥的一个侧面积与底面积之比为2/3，则侧面与底面所成的二面角为________
8、三棱锥P—ABC的底面ABC是以AC为斜边的RtD，且顶点P在面ABC内的射影是DABC的外心，若PA=AB=1，BC= EQ R(,2) ，则面PAB与面ABC所成的二面角为_______
9、二面角a—L—b内一点P到两个面的距离分别为 EQ R(,2) ， EQ R(,3) 到棱的距离为2，求此二面角的大小
3
10、四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB^BC且AB= EQ F(1,2) CD，侧棱PB^面ABCD，PC=5，BC=3，SDPAB=6。求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小
11.如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
12．过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
13、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小
14、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，
B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 15、如图，设M为正方体
ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与
底面ABCD所成的 二面角的大小。
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