二面角的求法
郧西四中 潘远兵
求二面角的大小是立体几何的一个重要内容，是高考的一个重点和热点，本文就二面角的求法谈谈自己的看法，希望同学们合理选择，熟练掌握，以提高解题速度。
一、 几何法：即作出二面角的平面角，再求解，此法解题过程为：作——证——算——答
根据辅助线的做法又可分为定义法、垂面法、三垂线法。
⑴定义法
在棱上找一点O在两个平面内分别作棱的垂线AOBO, ?AOB为??CD??的平面角，此法较多适用于两面是共底的等腰三角形或全等三角形。
例1 ABCD解：取BC的中点E，连接AE,DE，
∵正四面体ABCD，∴BC?AE,BC?ED于E，
∴?AED为二面角A?BC?D的平面角，
设正四面体的棱长为1，
则AE?ADBEC1DE?AD?1，由余弦定理得cos?AED? 3∴?AED=arccos1. 3
（2）垂面法
过二面角内一点作棱的垂面，则这个垂面与二面角的两个面的交线的夹角就是二面角的平面角。
例2．自二面角内的一点到两个平面的距离都是6cm,两个垂足间的距离也是6cm,求此二面角的度数。
如图，P是二面角??L??内的一点，PA??,PB?,A,B分别为垂足，PA=PB=AB=6cm,L为二面角的棱，所以?APB=60,因为PA
??,且PA,PB相交于P点，过PA和PB作平面分别交?，? 两个平面于AC和CB,则平面PACB?L, 所以?ACB是二面角的平面角。又PA?AC,PB?CB, 所以?PAC=?PBC=90 所以由APB=60，得?ACB=120, 即所求二面角的度数为120 (3)三垂线法
利用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角，其特征是过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，然后过垂足或斜足作棱的垂线 ，从而构造二面角的平面角。
例3．如图，AB?平面BCD，BD?CD，若AB?BC?2BD，求二面角B?AC?D 1
解：过D作DE?AC于E，过E作EF?AC交BC于F，连结DF，
则C垂直于平面DEF，?FED为二面角B?AC?D的平面角，
∴AC?DF，
A又AB?平面BCD，
∴AB?DF，AB?CD，
∴DF?平面ABC，
∴DF?EF，DF?BC， B又∵AB?CD，BD?CD，
∴CD?平面ABD，∴CD?AD，
设BD?a，则AB?BC?2a，
在Rt?BCD中，
S?BCD?11BC?DF?BD?
CD，∴DF?a，同理，Rt?
ACD中，DE?， 22DF??
∴sin?FED?B?AC?
D DE二、射影面积法：通常使用于无棱的二面角的大小的计算。
即用公式cos?=S射
S原C
求解 例4. 如图ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD. SA=AB=BC=1 AD=1 2求面SCD与面SBA所成的二面角的大小
-解：由于DA?平面SAB,CB?平面SAB,则?SCD在平面SAB的射影是?SAB,易求,SB=3,SD=CD?
则cos??S?SAB
S?SCD12215,?SC上的高为，S?SCD??3?,又S?SAB?,?2224222226?=.???,即面SCD与面SBA所成的二面角的大66小为 2. 6三、向量法：（1）棱上取两点向量法 若m,n分别是二面角??l??的两个半平面内与棱l垂直的两向量，则二面角的大小就是向量m,n的夹角
例5. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.
2
解：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（2，0，0），B1（2，1，0），A1（0，1，1），
D（2,1,1)，M（2，1，0）， 2222
?(21111,,),A1?(2,?1,?1),?(0,,?), 22222
则CD?A1B?0,CD?DM?0, ∴CD⊥A1B，CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则
??3211211231G（，CD?(,,）,,),，B1G?(?,?,), 444222444
??B1?0,
???CD?B1G??又CD?BD,?cos??1???CD与B1G的夹角?等于所求的二面角的平面角.
所以所求的二面角等于??(2)法向量法 3.33. 3
设二面角??l??的两个半平面的法向量分别为m与n，即二面角?和m与n的夹角相等或互补。
例6． 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小； 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设AC?BD?N，连接NE，
?2222则点N、E的坐标分别是（（0,0,1）, ∴NE=(?,,0)、,?,1), 2222
220）又点A、M的坐标分别是（22，、（,,1) 22
?22∴ AM=（?,?,1)∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM。 22
又∵NE?平面BDE， AM?平面BDE，∴AM∥平面BDF。
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF?AD?A,∴AB⊥平面ADF。 ∴AB?(?2,0,0)为平面DAF的法向量。
??22∵NE·DB =（?,?,1)·(?2,2,0)=0，∴NE·NF=22
?2（?,?,1)·(2,2,0)=0得:NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量。∴22
??1cos<AB,NE >=AB与NE的夹角是60?。 2???
即所求二面角A—DF—B的大小是60?。
3
第二篇：二面角求法大全
二面角求法之面面观
求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.
总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.
1 定义法
即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 .
分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为
二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”
这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉
思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1
是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=2。
B C A1
C1 将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 .
1
3在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 图1 cos∠A1OC1=
B Q P C Q P F C 1 例2(20xx年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起 到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连
接A1B、A1P.
(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。 图2(1) 图2(2)
分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△ PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=5，QM=FM=
中，由余弦定理得cos∠QMF=?7
8255，在△QMF。
练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分)
如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，
且∠DAB=60?
，PA?PD?分别是BC,PC的中点. 1
(1) 证明：AD ?平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值. 解：(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，
在Rt?PGA中
，PG2?
BG
2
BG中A，
127
t；在R??()?
24
1223
?1?()?；
24
在?
PGB中，cos?PGB?2 三垂线法
PG?BG?PB
2PG?BG
222
??
7
.
A
B
Ｓ
Ｓ
Ｓ
这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角??l??，过面?
内一点P作PA⊥?于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角??l??的平面角，故称此法为三垂线法.
最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作
l
A 图3
出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？
例3(20xx年陕西试题)如图4，平面?⊥平面?，?∩?=l，A∈?，B∈?，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：
(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的正弦值.
分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白 的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.
作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥A B交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的 平面角.
依次可求得AB1=B1B=，A1B=3，A1E=
22
1
A1图4
l，A1F=
32
，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
A1E. A1F3
与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备. 3 垂面法
事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.
例4空间的点P到二面角??l??的面?、?及棱l的距离分别
2393
P
?为4、3、，求二面角??l??的大小.
l
图5
2
分析与略解：如图5，分别作PA⊥?于A，PB⊥?于B，则易知 l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.
分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=
2393
，PA=4，PB=3，则AC=
233
，BC=
533
.
因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角??l??的大小为?. 分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得
22222
AB=AC+BC-2·AC·BCcos?=PA+PB-2·PA·PBcos(???)，
则可解得cos?=?4 面积法
12
，?=120o，二面角??l??的大小为120o.
1
如图1，设二面角C-BD-C1的大小为?，则在Rt△COC1中，cos??
?1C1O
2
CO
CO?BD
?
C1O?BD
S?CBDS?C1BD
，
在某些情况下用此法特别方便.
例5 如图6，平面?外的△A1B1C1在?内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面?所成锐二面角的余弦值
分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1， 则△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=
4
1
1
2，A1C1=5，B1C1=
2，所以等腰△A1B1C1的面积为
，又正△ABC的面积为
34
.
1H M G
设所求二面角的大小为?，则cos?=5 变式二面角的求法
55
.
图6
以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法
严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：
(1)用面积法，见例5；
(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.
在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH. 作CM⊥GH于M，连C1M，C1M⊥GH，则∠CMC1是所求二面角的平面角. 由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH的面积为23，又△CGH的面积为
12
CH·CM.
3
又由余弦定理得GH=23，所以CM=2，则在Rt△CMC1中，cos?=
55
.
在原图中，面A1B1C1与?的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.
面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 5.2 有关二面角的最值问题
求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.
?
例6 二面角?-l-?的大小是变量?(0???)，点B、C在l
2上，A、D分别在面?、?内，且AD⊥BC，AD与面?成△ABC的面积为定值S，求△BCD面积Q的最大值.
分析与略解：如图9，作AE⊥BC于E，连DE，则由AD⊥BC得
?
BC⊥平面ADE，则DE⊥BC，∠AED=?，∠ADE=.
6
?
6
角，若
图7
l在△AED中，由正弦定理得
DEAE
sin(???
sin
?6
)
?6
，所以
QS
sin(???
sin
?6
)
,Q?2Ssin(??
?6
?6
)，
则当??
?
3
时，有Qmax=2S.
△BCD和△ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.
4