专题五 立体几何中二面角的求法

★★★高考在考什么

二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。

二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法

一、定义法：

例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。

二、垂面法

例2 如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。

三、三垂线法：

例3 如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。

（1）求证：A1、E、C、F四点共面；

（2）求二面角A1-EC-D的大小。

1

四、延伸法

例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，

求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。

五、射影法

例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。

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第二篇：高中立体几何二面角的几种基本求法例题

二面角的基本求法例题

一、平面与平面的垂直关系

1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

例1．在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点。

求证：平面BEF^平面BDG。

C

例2．AB^平面BCD，BC=CD，?BCD 求证：平面BEF^平面ABC 。

90

°

，E、F分别是AC、AD的中点。

C1

2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

例3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二、二面角的基本求法

1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求（1）二面角A-B1C-

A1的大小；

（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。

练习：过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a，

求二面角B-PC-D的大小。

2．三垂线法

例5．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩AF=

12

C

C1

AD=a，G是EF的中点，

（1）求证：平面AGC^平面BGC； （2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；

B

（3）求二面角B-AC-G的大小。

例6．点P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求证：平面PAB^平面ABC； （2）求二面角P-AC-B的大小。

90

°

，?PAB是正三角形，PA^BC。

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。

B1

B

3．垂面法

例7．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC， （1）求证：SB^BC；

（2）求二面角C-SA-B的大小；

（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱

例8．过正方形ABCD的顶点A作PA^平面ABCD，设PA=AB=a， 求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。

（2）射影面积法（cosq=

s射影S

）

例9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是棱AA1的中点， 求平面PB1C1与平面ABCD所成二面角的大小。

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