轴对称知识点

（一）轴对称和轴对称图形

1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）

3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。　连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．  轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

联系：1：都是折叠重合   2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

（四）用坐标表示轴对称

1、  点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

2、  点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；

3、  点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

关于谁谁不变，关于原点都相反

(五）关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝ －x对称的点的坐标是（－y，－x）

（六）关于平行于坐标轴的直线对称

（七）点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；

点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；

(七）等腰三角形

1、  等腰三角形性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）

2、  等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

（八）等边三角形

（九）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

1、  性质和判定：

（1）       等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）       三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）       有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）       在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（九）其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

                                     作图题专练

1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小；

作法：

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大            

作法：

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

变式练习

1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN 

2．如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

5、已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？

第二篇：轴对称知识点整理总结

§13．1 轴对称（一）

    一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

    二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

 

  

(1)          (2)          (3)            (4)                (5)

§13．1 轴对称（二）

    一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

    二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

    三、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

    [探究1]

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP₁=BP₁，AP₂=BP₂，…

    证明．

    证法一：利用判定两个三角形全等．

    如下图，在△APC和△BPC中，

   

△APC≌△BPC  PA=PB.

    证法二：利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

[探究2]

1.作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P₁、P₂，连结AP₁、AP₂、BP₁、BP₂．会有以下两种可能．

2．讨论：要使L与AB垂直，AP₁、AP₂、BP₁、BP₂应满足什么条件？

 探究过程：

    1．如上图甲，若AP₁≠BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP₁≠∠BPP₁，即L与AB不垂直．

    2．如上图乙，若AP₁=BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP₁=∠BPP₁，即L与AB重合．当AP₂=BP₂时，亦然．

§12．2作轴对称图形

一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．

【探究】四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．（归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；）

【引申】

分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则，y= y．

若△PQR中P(x,y)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则x= x，=n．

13．3. 1等腰三角形

等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

思考：

    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

    2．等腰三角形的两底角有什么关系？

    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

   由此可以得到等腰三角形的性质：

    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

例题与练习

　　1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是 [       ]

　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．

　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．

　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．

　　④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．

　　3．以问题形式引出推论l______．

　　4．以问题形式引出推论2______．

13．3.2等边三角形

等边三角形定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。

等边三角形的性质：

1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

    2．等边三角形每一个角相等，都等于60°

   等边三角形的判断方法：

3．三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

练习巩固

    1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。

    a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合(    )

    b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°(    )

2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。

                  

例题与练习

1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?

    ①在边AB、AC上分别截取AD=AE．

    ②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．

③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．

2． 已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．

3. 已知如图所示, 在△ABC中,  BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120^o, 求证: AB=2BC

4、如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.