“几何概型”的教学设计及反思

黑龙江省大庆市第五十六中学 修红梅

【摘要】：几何概型是高中数学课程改革中的新增内容，虽然课标要求较低，但“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．笔者结合自己的教学实践，反思在新课教学中如何创设情景，帮助学生正确理解几何概型的本质；反思在例题教学中强调“对应区域”思想和抓住“等可能性”，适当运用变式，帮助学生走出几何概型常见误区．

【关键词】：几何概型，概念教学，例题教学，反思

几何概型是高中数学课程改革中的新增内容，《普通高中数学课程标准》对几何概型的教学要求指出：介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义．所以教科书中选的例题也是比较简单．但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．所以对教学内容的理解程度还需进一步深化，教学上还需进一步探索．下面结合本人的教学实践，谈谈对几何概型第一课时教学的一些思考．

1．关于新课引入创设情境的反思：

问题1.红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？问题2.若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊

村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？问题3. 一颗珍珠（不计大小）埋在一堆体积为10立方米的沙子中， 珍珠可能埋在沙子堆的任何位置。喜羊羊和沸羊羊可以任意挖，喜羊羊从沙子堆中任取1立方米沙子。求：他取到珍珠的概率。预设是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度、面积和体积．但实际的教学证明效果不是很好．对于问题1，虽然是实际问题，但学生立即反应的是长度之比．从运算结果来说是正确的，但这样的引入还是没能达到预期的目的，不能恰如其分地引导学生关注基本事件是红外保护线上的任一位置，指出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件，而且等可能，从而启发学生通过线段长度度量概率。对于问题2，这是一个简单的用面积之比求概率的问题，学生在初中时就计算过此类概率问题．预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量，基于以上想法，我又提出将灰太狼炸出的圆形区域移到羊村的另一位置（如图2）说明概率与区域的位置无关，再添加一个等面积的方形区域（如图3）说明概率与区域的形状无关，这样就能恰到好处地揭示几何概型的本质归纳出几何概型的特征，也可以引起学生思维。这一问题的设置相对于问题1学生理解的更好一些。经过对前面两个问题分析对于问题3，学生很快就回答出当：“总的基本事件个数可以用10立方米沙子来刻画，事件A包含的基本事件个数可以用取出的1立方米沙子来刻画，所以概率为1／10 ．”接着提出问题：上述三个概率问题有什么共同点吗？开始同学们不知从何考虑，经过引导提示才归纳出几何

概型的定义、特点、概率公式。知识的引出这一过程对于学生来说有点过难，虽然我在课件中引用了动画片中的一些故事情节并设置了有趣的动画效果，目的是激发学生的学习兴趣，可是并没有达到预想的效果，还有部分学生有挫败感。课后我进行反思，觉得知识点的引出有点急，应该先引导学生发现三个问题都与几何图形有关，再根据所求的概率归纳出定义，又类比古典概型得出几何概型的特点和概率公式。这样层层递进可能效果会更好一些。

2．关于例题教学的反思

例1.懒羊羊午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。我在教学时引导学生思考以下几个问题：(1)他在0～60分钟之间任何时刻打开收音机是等可能的吗？(2)符合几何概型的条件吗？(3)如果符合几何概型，这里的几何区域用什么来度量？（4）事件A发生对应点的区域用什么来度量？通过对这些问题的思考及解决，使学生理解懒羊羊在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关。因此得出几何概型的概率就是事件A发生对应点的区域长度与0～60分钟之间任何时刻所对应的区域长度之比．分析完后提问学生说出解题过程，然后我又进行了补充，通过例1的解题过程我又提出：解决这类几何概型问题需要几步完成，学生很快就答出四步，这个例题用了大约8分钟，在确定基本事件是学生理解的不好，需要经过引导才能答出来。例2 懒洋洋是一名神箭手，百步之外一定能射中铜钱。可能射中铜钱的任意位置。已知铜钱的半径为2厘米，

铜钱中间的方孔为边长为1厘米的方形。求：懒洋洋射中方孔的概率。 通过对例1的分析学生很快就确定出本题是几何概型中的面积问题，因此，我找了两名同学到黑板上写出解题过程，我到下面巡视了一下发现不少学生对基本事件的陈述不够准确，于是我又重点强调了一下。 出现上述情况的原因在于学生没有理解几何概型中区域的形成，在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们足够的重视．例3：容器里有1.5升的水，其中含有1个细菌，沸羊羊用一个小杯从容器中取出0.2升水，求他取的小杯水中含有这个细菌的概率。这个问题学生很快就给出了答案，而且对基本事件的陈述也很到位，比预想的效果要好。三个例题的解决加深了学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.

例题之后又设置了相应的练习1.已知地铁站每隔10分钟有一班列车到达，每辆列车在车站停1分钟,喜羊羊、沸羊羊、懒羊羊要乘车到竹林拜熊猫为师学习数学。则三羊到达站台立即乘上车的概率是多少？2.熊猫老师拿出两个转盘，让喜羊羊和沸羊羊玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，喜羊羊获胜，否则沸羊羊获胜.你认为喜羊羊获胜的概率分别是多少？（教材135页图3.3-1）3.羊村村长从集市上买回来1升高产小麦种子，其中混入了一粒带麦锈病的种子，喜羊羊从中随机取出10毫升，求喜羊羊取出含有麦锈病种子的概率是多少？在给定的时间内都由学生独立完成，效果很好。

在剩余3分钟时我又通过问题引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.为了反馈本节所学知识的情况，学生的课后作业我布置了必做题和选做题，同时为下节课做准备。 我认为本节课有五个方面做的比较成功：

1.通过有趣的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲；

2.通过与古典概型的对比，产生矛盾，迫使学生想去探求解决问题的方法；

3．分解难度，将抽象的概念“解剖”易于理解；

4.问题设置层层递进，由浅入深，符合学生的认知规律；

5.本节课中所体现的类比思想，转化思想将会对学生的思维发展有所帮助。

本节课的不足之处在于教师的准备工作做的太多，问题设置的过于紧密，使得学生发挥的空间不足。如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题，解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的。 从本节课的教学过程来看，我觉得思路还是比较清晰的，教学过程也比较流畅。但在有些小细节方面还需要多钻研，比如板书的设计方面、语言可以更简练些、还可以让学生更多的发言，交流更广些，这是在以后的教学中需要注意的地方。

参考文献：

[1]贺善菊.“几何概型”的教学反思[J].数学通报，2009(10).

[2]傅伟敬.几何概型的教学反思[J].中学数学月刊，2007(4)

[3] 唐文.“几何概型”的教学反思[J].第一论文网，2012(5).

第二篇：几何概型教学设计

3.3．1   几何概型

一、教材分析                      

    本节内容是新教材必修3中第三章第三节的第一课时，是新增加的知识模块，对于概率部分来说，这是一个教学难点，如何循序渐进地引入新课，由易到难地提出问题，进而顺利地解决问题，是本节课的关键。

二、学生分析

    高一的学生已经具备了初步的数学建模的意识，而前一节的学习使学生能够把一些实际问题转化为古典概型，并对概率的意义有了较深刻的理解，在此基础上，通过类比，观察，推断，归纳过渡到几何概型应该是水到渠成，顺理成章，能够有效地提高学生的直觉思维能力，分析问题，解决问题的能力。

三、教学目标

1、  知识与技能

（1）正确理解几何概型的概念；

（2）掌握几何概型的概率公式：

P（A）=；

（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；

（4）能将实际问题通过数学建模后转化为几何概型，进而解决问题。

2、 过程与方法

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）类比法教学，通过与古典概型的类比与对比，让学生感触到知识的层进与推陈出新，提高学生发现问题，分析问题的能力，并达到温故而知新的目的。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是生活案例多，学习时要积极探求如何构建数学模型，体会数学不是远离生活高不可攀的，更体会学习数学的重要与快乐。

四  重点与难点

1、重点：几何概型的概念、公式及应用；

2、难点：几何概型的应用

五、学法与教学用具

1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；

2、教学用具：幻灯片，计算机及多媒体教学．

六、教学过程

1、  课堂导入：在古典概型中，成功地解决了某一类问题的概率，不过，在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

（1）取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，剪得两段的长都不少于1米的概率；

（2）如图，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域B时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

[设计意图]与古典概型类比，引起学生认知上的冲突，很自然地引入新的概率模型。

[学生分析]（1）中基本事件是在长为3米的绳子上任取一点剪断，有无限多个基本事件，而（2）中，游戏中指针指向B区域时也有无限多个结果，如何来计算概率呢？学生讨论后不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来度量，鼓励学生从直观感觉上给出结果，从而引入新的概率模型——几何概型。

2、基本概念：（1）几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型；

（2）几何概型的概率公式

P（A）=；

（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

3．例题解析：

例1．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

[例题解析]假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。我们可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。

解：设，事件A恰好是打开收音机的时刻位于时间段内，因此由几何概型的概率公式得P（A）=，即等待的时间不多于10分钟的概率为。

[设计意图]对于几何概型的各种情况层层展开，让学生有全面的了解和认识。

练习1：公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站，求汽车在1~3分钟之间到达的概率。

[例题解析]将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1~3分钟是这一线段中的2个单位长度。

解：设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A，则

所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率为。

练习2：取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。

总结：对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概率问题，利用几何概率公式求解。

例2．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。

解：  在AB上截取AC’=AC，于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC’），则AM小于AC的概率为。

思考：以上各题是与长度有关的几何概型，那么有关面积、体积等区域的概率也适合用几何概型求之吗？

例3 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。

师生讨论：显然这是一个几何概型，我们要把题目中最本质的东西提炼出来，那是什么？学生的答案关键是要找到随机事件对应的几何度量。

问：区域是什么？其几何度量是什么？

    区域及其几何度量呢？

回答以上问题后学生很快给出答案P(A)= =

[设计意图]通过例题的设置，使几何概型这本书完全打开，学生对于这部分知识的认知直触本质，犹如登山，最终获得一览众山小的通透和畅快。

练习：平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚

半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何

一条平行线相碰的概率．

解：把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM的长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==。

[设计意图]从题目设置上抽象出几何概型的另一种几何度量——长度，让学生意识到重点不是死记公式，而是从实际问题中剥离抽象出数学模型，进而体会到数学知识的成功应用带来的快乐。

练习3：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？

解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|>|BC|，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，

所以可用几何概型求解，有，

则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为。

加强例题：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率。

[师生讨论后分析]假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.

[学生解答]解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．

[设计意图]对于长度等几何度量以多元化的形式出现，让学生活学活用，达到举一反三的目的。

练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。

2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．

学生口答1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；

2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．

4、课堂小结

（1）几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量成比例；

（2）分析清楚几何概型的解题关键是既快又准地找到事件对应的几何度量。

（3）有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，需要更深入细致地研究。

5、课后作业

在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？

分析：草履虫在这500毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解：取出2毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则

P(A)=  =．