数学教学案例（必修3）

3.3.1 几何概型

麒麟高中数学组 孙斌

教学目标：

1．知识与技能：

（1）使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。

（3）通过例题教学，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。

2．过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3．情感、态度与价值观：

通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习 惯，初步形成建立数学模型的能力。

教学重点与难点：

重点：1、几何概型概率计算公式及应用。

2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

难点：正确判断几何概型并求出概率。

教学过程：

一、预习目标:

1．几何概型的定义2．几何概型的特点3．几何概型的概率公式

二、复习巩固：

问题1.计算随机事件发生的概率,我们已经学习了哪些方法?

三、问题情境：

问题2 某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？

在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，上述两个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题． 探究点一 几何概型的概念

问题3 下图（1）中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获 胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概率分别是多少？

图（1）

问题4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化 的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪些因素有关？

问题5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概

型的特征，几何概型有哪两个基本特征？

几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.

几何概型的基本特点：1.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

2.每个基本事件出现的可能性相等.

问题6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？

相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；

不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例题讲解：

例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．

(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)问题3中，求甲获胜的概率.

小结：加深理解古典概型与几何概型的概念及相同点和不同点.

导引 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概 型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的 概率公式呢？

探究点二 几何概型的概率公式

问题7 问题3中甲获胜的概率是怎样计算的？

问题8 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水 中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？

问题9 根据上述问题中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A发生的概率的计算 公式吗？

几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积). 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)小结：几何概型的概率公式的理解及推广（角度比）.

例题讲解：

例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客 候车时间不超过6分钟的概率．

小结：几何概型问题的解题策略及公式的灵活应用.

跟踪训练： 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．

探究点三 与角度有关的几何概型

例3 在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|>|AC| 的概率．

小结：几何概型的概率公式的推广（角度比）及应用.

跟踪训练 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．

课堂小结：略

课后巩固提升：

1．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．

2. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

3. 在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？

4.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．

教学案例设计说明：

一、教材内容解析

本节课是人教A版教材数学必修3第三章第三节的内容。“几何概型”这一章节内容是在安排“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型的内容进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容也是新课本中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。

二、学情教法分析

对于高中的学生，知识经验已较为丰富，具备了较强的自主探究能力和概括归纳能力。基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学方法上通过引导发现、事例讨论和归纳概括相结合，观察蕴含在生活当中的问题，从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义。让学生在归纳探究中经历概念数学化的过程，在感性活动基础上，通过合作交流和互动学习，激发学生的学习兴趣。由概念的建构过程，使学生的思维从困惑、迷茫直至清晰、透彻，从而让学生的思维从感性上升到理性。

三、教学设计与思路

1. 知识链接，复习提问

由问题1温故而知新，通过复习旧知加强学生对以往知识的掌握，为后面总结古典概型与几何概型之间的区别与联系做好铺垫。

2. 创设情境，引入新课

由问题2创设情境，引出了几何概型的知识。以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望。

3. 探求新知，形成概念

由问题3、4、5通过学生探究发现，归纳总结形成几何概型的概念及特点。由问题6明确古典概型与几何概型的区别与联系，梳理知识体系。同时由问题3让学生发现几何概型的概率还与角度成比例，为后续例题的解决和概念的推广埋下伏笔。由问题7、8、9让学生发现并归纳出几何概型的概率计算公式，激发学生自主探究的兴趣，培养学生的实际动手能力。

4. 应用举例，巩固概念

由例1使学生加深理解古典概型与几何概型的概念及相同点和不同点。由例2及跟踪训练，使学生理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，进而熟练应用几何概型的概率公式计算相关事件发生的概率。由例3及跟踪训练让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。培养学生的思维能力，完成对几何概型认识及推广, 加深学生对几何概型知识本质的理解，提升学生应用知识解决问题的能力。

5．归纳总结，知识梳理

由每一个应用举例后的小结，让学生归纳本节内容的基础知识及基本方法，通过学生的反思、探究、推广、总结而形成对知识和方法的积累，从而提升解题技能。

6. 作业布置，巩固收获，思考外延

通过布置作业既巩固本节课的学习内容，又让学生有思考和提升的空间（题4就是几何概型的概率与面积成比例的实际应用）。激发学生自主探究的兴趣，培养学生的实际动手能力。

总之，该节课要达到的预期目的是：围绕一条主线--几何概型的概念及其特征；体现两个观点--新课改下正确的学生观和教师观；实现三个目标--知识与技能、过程与方法、情感、态度价值观。而该任务的完成是通过上述学法和教法环环相扣，使学生在具有较多感性认识的基础上获得正确的理性认识，加深学生对于新知识获得的迁移能力与再生能力，前后呼应而实现的。

四、教学反思

课前充分研究了教材和教法并精心设计了师生互动，所以课堂上充分发挥了学生的主体地位，利用问题有效的调动了学生学习的积极性和主动性，并及时能观察学生的参与状态、交流状态以及思维状态，以师生讨论的方式逐步使学生形成阅读问题、探究解决问题的良好习惯，最后通过适量的练习题巩固所学知识。

20xx年12月

第二篇：用“做数学”理念设计《几何概型》教学案例