研究性实验报告

——阿贝成像原理和空间滤波

 

摘要：早在1874年，阿贝（E．Abbe，1840—1905）在德国蔡司光学器械公司研究如何提高显微镜的分辨本领问题时，就认识到相干成像的原理，他的发现不仅从波动光学的角度解释了显微镜的成像机理，明确了限制显微镜分辨本领的根本原因，而且由于显微镜（物镜）两步成像的原理本质上就是两次傅里叶变换，被认为是现代傅里叶光学的开端。

　　通过本实验可以把透镜成像与干涉、衍射联系起来，初步了解透镜的傅里叶变换性质，从而有助于对现代光学信息处理中的空间频谱和空间滤波等概念的理解。

实验原理：1、关于傅里叶光学变换

设有一个空间二维函数，其二维傅里叶变换为：

       

式中、分别为、方向的空间频率，是的逆傅里叶变换，即：

      

该式表示：任意一个空间函数可表示为无穷多个基元函数的线性叠加。是相应于空间频率为、的基元函数的权重，称为的空间频谱。

理论上可以证明，对在焦距为的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为的图像作为物，并用波长为的单色平面波垂直照明，则在透镜后焦面上的复振幅分布就是的傅里叶变换，其中空间频率、与坐标、的关系为：

                                 

故面称为频谱面（或傅氏面），由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布，也就是物的夫琅禾费衍射图。

2、阿贝成像原理：成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。第一步把物面光场的空间分布变为频谱面上空间频率分布，第二步则是再作一次变换，又将还原到空间分布。

图6-3-1显示了成像的两个步骤。我们假设物是一个一维光栅，单色平行光垂直照在光栅上，经衍射分解成为不同方向的很多束平行光（每一束平行光相应于一定的空间频率），经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵。然后代表不同空间频率的光束又重新在像面上复合而成像。

如果这两次变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似（可能有放大或缩小），但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入到物镜而被丢弃了，所以像的信息总是比物的信息要少一些。高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能达到像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别是当物的结构非常精细（如很密的光栅）或物镜孔径非常小时，有可能只有０级衍射（空间频率为０）能通过，则在像平面上完全不能形成像．阿贝成像原理实验

1．在光具上布置如图4所示的是实验光路。透镜（或显微镜）和组成倒装望远系统，将激光扩束成具有较大截面的平行光束。让平行激光束垂直照射在一维光栅（物平面）上。

图4

2．在物后放一透镜L，使组成一放大成像系统。调节各元件共轴，调节的位置，使像面上出现清晰的光栅像。调节光栅，使像面上的条纹像沿竖直方向（调节成像时，可在物面前暂放一块毛玻璃，以便在扩展光源照明下，找到成像的精确位置）。

3．用一毛玻璃屏在透镜L的后焦面（即频谱面）上将得到如图5（a）那样的级的光栅主级大亮点，它们也是光栅的频谱分布。用卡尺测出各级到零级之间的距离，由式（4）求出和它们相应的空间频率。

4．在频谱面上放置可调狭缝及其它附加光阑，按图5（b）、（c)、（d)、(e)分别通过一定的空间频率成分，依次记录像面上成像的特点，特别注意观察（d)、(e)两条件下图像的差异，并对图像变化作出解释。

5．保留上述光路，用一个二维正交光栅（或正交网格）代替一维光栅。则在频谱面上获得如图6（a）所示的二维点阵分布（即正交光栅的频谱），而在像面上得到放大了的正交光栅像，测出像面上的网格间距。

6．依次在频谱面上放置如图6(b)_~(e) 所示的零频和不同方向的滤波器，观察像面上图像的变化，测量像面上的条纹间距，并作出相应的解释。

3、空间滤波

根据上面讨论，透镜成像过程可看作是两次傅里叶变换，即从空间函数变为频谱函数，再变回到空间函数（忽略放大率）。显然如果我们在频谱面（即透镜的后焦面）上放一些不同结构的光阑，以提取（或摒弃）某些频段的物信息，则必然使像面上的图像发生相应的变化，这样的图像处理称为空间滤波，频谱面上这种光阑称为滤波器。滤波器使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住其它频率分量，从而改变了像面上图像的频率成分。例如光轴上的圆孔光栏可以作为一个低通滤波器，而圆屏就可以用作为高通滤波器。

θ调制

θ调制是用不同取向的光栅对物平面的各部位进行调制（编码），通过特殊滤波器控制像平面相当部位的灰度（用单色光照明）或色彩（用白光照明）的方法。例如图8，花、叶和天分别由三种不同取向的光栅组成，相邻取向的夹角均为120°。在图9所示光路中，如果用较强的白炽灯光源，每一种单色光成分通过图案的各组成部分，都将在透镜Ｌ_２的后焦面上产生与各部分对应的频谱，合成的结果，除中央零级是白色光斑外，其他级皆为具有连续分布的彩色光斑。你可以在频谱面上置一纸屏，先辨认各行频谱分别属于物图案中的哪一部分，再按配色的需要选定衍射的取向角，即在纸屏的相应部位用针扎一些小孔，就能在毛玻璃屏上得到预期的彩色图像（如红花、绿叶和蓝天）。改换扎孔位置，可以将观察屏上的花、叶、天的颜色进行变换。

图8　θ调制实验的物、频谱和像

图9　θ调制实验光路

 

 

 

第二篇：阿贝成像空间滤波物理实验研究性报告

研究性实验报告

摘要：

关键词：

实验目的

1、通过实验来重新认识夫琅禾费衍射的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解；

2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响；

3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波；

4、掌握θ调制假彩色编码的原理；

5、巩固和加深对光栅衍射基本理论的理解；

6、通过实验，利用一张二维黑白图像获得假彩色编码图像；

7、巩固光学实验中有关光路调整和仪器使用的基本技能。

实验原理

1、 傅立叶变换成像原理

在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。 设在物屏 X-Y 平面上光场的复振幅分布为g (x，y) ，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数exp[i2π（fxx+fyy）]的线性叠加，即

g x,y = G fx,fy exp i2π fxx+fyy dfxdfy ?∞

式中 fx、fy 为x、y 方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，量纲为L?1，G fx,fy 表示原函数g x,y 中相应于空间频率为∞

fx、fy的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场g x,y 的空间频谱。G fx,fy 可由g x,y 的傅里叶变换

求得G fx,fy = g x,y exp ?i2π fxx+fyy dxdy ?∞

其中g x,y 与G fx,fy 是一对傅里叶变换式，G fx,fy 称为g x,y 的傅里叶的变换，g x,y 是G fx,fy 的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等效的。

当g x,y 是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x0的一维函数g x ，即g x =g x+x0 。描述空间周期为x0的

一维光栅时，光栅上光振幅分布可展成傅里叶级数

g x = Gnexp i2πfnx = Gnexp i2πnf0x

上式中,n=0,±1,±2,……;

f0=1 x0，称为基频fn=nf0是基频的整数倍频，称为n 次谐波的频率。Gn 是g(x)的空间频率，由傅里叶变换得

1Gn= g(x)exp?(?i2πnf0x)dx 0x?0 2x+0 2+∞

二维傅里叶变换性质：

理论证明，若在焦距为F 的正透镜L 的前焦面（X-Y 面）上放一光场振幅透过率为g(x，y)的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L的后焦面（X-Y面）上就得到g(x，y)的傅里叶变换，即g(x，y)的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱

xyx′y′

G , = g x,y exp ?i2π x+y dxdy ?∞′′+∞

其中空间频率 fx、fy与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下

′y关系fx=x λF,fy= λF ′

显然，G ,x′y′

λFλF就是空间频率为 λF,λF的频谱项的复振幅是物的x′y′

复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于x′

λFλF,y′分别正比于x′，y′，所以当λ、F一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x′=y′=0,fx=

fy=0

对应于零频。

2、 阿贝成像原理

阿贝(E.Abbe)在1873年提出了相干光照明下的显微镜成像原理.既

显微镜成像可以分成两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜

的后焦面上形成一个衍射图;第二步是将物镜后焦面上的衍射图复合成(中间)像,这个像可以通过目镜观察到。

实际上成像的这两个步骤就是两次傅立叶变换.第一步是把物面光场的空间分布g(x,y)变为频谱面上的空间频率分布.第二步则是再作一次变换,又将还原到光场的空间g(x,y)。

上图显示了成像的这两个步骤,单色平面波垂直照明在一维光栅上,经衍射分解成为不同方向上的很多束平行光(每一束平行光相应于一定的空间频率),经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵,然后代表不同空间频率的光又重新在象面上复合成像。

如果这两次变换完全是理想的,既信息没有任何损失,则像与物完全相似(可能有放大或缩小),但一般来说像与物不可能完全相似,这是由于透镜的孔径是有限的,因此总有一部分衍射角较大的高次成分(高频信息),不能进入到物镜而被丢失了.所以像的信息总是比物的信息要小些.高频信息主要反映了物的细节,如果高频信息受到透镜的孔径的限制而不能达到像平面,则无论显微镜有多大的放大倍数,也不可能在像的平面上显示出这些高频信息所反映的细节,这是显微镜分辨率受到限制的根本原因.特别是当物的结构非常精细(如很密的光栅)或物镜的孔径非常小,有可能只有0级衍射(空间频率为0)能通过,则像平面上完全不能成像。

3、 空间滤波

根据上面的讨论,透镜成像过程可以看作是两次傅立叶变换,既从空间函数g(x,y)变为频谱函数,再变回空间函数g(x,y)(忽略放大率),显然如果我们在频谱面上放一些不同结构的光栅,以提取(或摒弃)

某些频段的物信息,则必然使像面上的图象发生相应的变化,这样的图象处理称为空间滤波,频谱面上这种光阑称为滤波器.滤波器使频谱面上一个或一部分频率分量通过,而挡住其它频率分量,从而改变了像面上图象的频率成分.例如光轴上的圆孔光阑可以作为一个低通滤波器,而圆屏就可以作为高通滤波器.如果把园屏部分变小，滤去零频成分，则可以除去图像中的背景而提高像质。

实验仪器

导轨及光具座，He-Ne激光器，白光光源（带透镜F0约为50 mm），会聚透镜5块L1-L5 ，可调狭缝两套，样品模版，滤波模版，θ调制板以及白屏等各一个

实验现象及解释（含数据处理）

1、 光路调节实验

实验光路图如上所示，按照教材中所给出的步骤，调整好光路。注意等高共轴的调节。

2、 阿贝成像原理实验

1>、一维光栅实验

如实验光路图在物平面上放上一维光栅，并用激光器发出的细锐光束垂直照在光栅上，频谱面上出现一排清晰的衍射光点。在频谱面上放上可调狭缝及各种滤波器，使通过的衍射点如上图所示。实验现象及解释如下：

产生

D现象的原因：由于±1级的衍射波振幅（即强度）高于±2级衍射波，故d亮度较c明显变暗。由于高频信号反映细节，所以条纹较为清晰。

关于条纹间距变化的解释：

从频谱面发出球面次波，在目镜前焦面上成像的过程，可看做是双缝干涉。因此条纹间距

Dx=?λ 其中D、λ保持不变，而（d）情况的d与（a）、（c）相比，扩大了一倍，在（d）情况下双缝间距为±2级间距，（a）、（c）情况下双缝间距为±1级间距

dd =2*da(c)

xd=1/2*xa(c)

2>、二维光栅

成像及解释如下表

产生（e）现象的原因：由于只有450方向的衍射斑通过，故只在该方向发生干涉叠加，用（x，y）表示通过点的级数，（1，1）的强度小于（1,0）或（0,1），所以斜光阑产生的条纹亮度暗于cd 情况，但条纹清晰

关于e中条件间距的解释：由于可以看做是双缝干涉，

DΔx=?λ 如下图所示，de:dd= 1

得 Xe:Xd=1:

由数据得 Δ/x=0.71≈1/ ≈0.707

所以，该解释正确

3、 高低通滤波

1>、高频滤波样品——带有小方格的透明“光”字

2>、低通滤波样品，“十”字

i>、无光阑 清楚地“十”字，亮度高，内部红色填满

ii>、5号高通滤波器

十字边框清晰，亮度较之前低，内部无红色

原因：由于滤去了零频成分，图像的背景被去除，所以内部无红色，亮度较之前低；而高频成分被保留，所以十字边框清晰

4、 θ调制实验

实验探究

四、部分问题的理解：

根据本实验结果，如何理解显微镜、望远镜的分辨本领？为什么说一定孔径的物镜智能具有有限的分辨本领？如增大放大倍数能否提高仪器的分辨本领？

可见光由于其波动性会发生衍射，因而光束不能无限聚焦，一些频率信息必定会受到孔径限制。根据阿贝原理，可见光能聚焦的最小直径是光波波长的三分之一，也就是200纳米。显微镜，望远镜的分辨率受到物镜孔径的限制，孔径越大，分辨率越高，但是孔径不能无限的大。如果孔径小，放大倍数再高也不能提高分辨率。

应用（选用）：

1>、

阿贝原理可用于制作光栅，其详细情况见网页。也已下载相关pdf

一个

2>、实验装置的改进

见附件其中的原理较多，切比较深奥，故若应用，可较肤浅的应用（其中也可以说明是在觉得实验设备不好的情况下，查阅相关资料的）