第四章圆与方程知识点总结及习题

时间:2024.4.27

圆与方程

1、圆的定义

2

第四章圆与方程知识点总结及习题

(1

点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系:

当(x0?a)2?(y0?b)2>r,点在圆外

当(x0?a)2?(y0?b)2=r,点在圆上

当(x0?a)

第四章圆与方程知识点总结及习题

2?(y0?b)2<r,点在圆内

(2DE?,半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为???,???22?2222

?E2?4F?0时,表示一个点;

22当D?E?4F?0时,方程不表示任何图形。 当D

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1)设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离为

第四章圆与方程知识点总结及习题

第四章圆与方程知识点总结及习题

则有d

2?r?l与C相离

第四章圆与方程知识点总结及习题

;d?r?l与C相切;d?r?l与C相交

第四章圆与方程知识点总结及习题

:①k不存在,验证是否成立②kk,得到方程【一定两解】

圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2222设圆C1:?x?a1???y?b1??r2,C2:?x?a2???y?b2??R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

第四章圆与方程知识点总结及习题

当d?R?r时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;


第二篇:第四章 圆与方程知识点总结及习题(答案)


第四章 圆与方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的

半径。

2

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

(1222 点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系:

当(x0?a)?(y0?b)>r2,点在圆外

当(x0?a)?(y0?b)=r2,点在圆上

2当(x0?a)

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

?(y0?b)<r,点在圆内 222222

(21DE?,半径为当D?E?4F?0时,方程表示圆,此时圆心为?r?D2?E2?4F ??,???22?2

?E2?4F?0时,表示一个点;

22当D?E?4F?0时,方程不表示任何图形。 当D

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1)设直线l:Ax?By?C?0,圆C:?x?a?2??y?b?2?r2,圆心C?a,b?到l的距离

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

则有d?r?l与C相离

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

;d?r?l与C相切;d?r?l与C相交

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

:①k不存在,验证是否成立②kk,得到方程【一定两解】

圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

22设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2,C2:?x?a2???y?b2??R2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

d?R?

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

d?R?

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

圆的方程

基础自测

1.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 ( ) A.a<-2或a>C.-2<a<0 答案D

2.(2009·河南新郑模拟)圆x+y+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则ab的取值范围

( )

2

2

2

2

2

2 3

B.-

2

<a<0 3

2 3

D.-2<a<

1??

A.????

4??答案A

?1?

B.?0? ?4?

?1?

C.??,0? ?4?

1??

D.???,?

4??

( )

3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 A.(x-3)+(y+1)=4 C.(x-1)+(y-1)=4 答案C

4.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 A.(x-2)+(y+1)=3 C.(x-2)+(y+1)=9 答案C

2

2

2

2

2

2

2

2

B.(x+3)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4

222

2

22

2

( )

B.(x+2)+(y-1)=3

D.(x+2)+(y-1)=9

2

2

2

2

5.(2009·宜昌模拟)直线y=ax+b通过第一、三、四象限,则圆(x+a)+(y+b)=r (r>0)的圆心位于( )A.第一象限 C.第三象限

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

答案B

 B.第二象限

D.第四象限

例1 已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( )A.x+y-2x-3=0 C.x+y+2x-3=0 答案D

2

22

2

2

2

B.x+y+4x=0

2

2

 D.x+y-4x=0

例2 已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.

解 方法一 将x=3-2y,

代入方程x+y+x-6y+m=0,得5y-20y+12+m=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:y1+y2=4,y1y2=

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.

∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

5?1?∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为??,3?,半径r=. 2?2?2222212?m. 5

方法二 如图所示,设弦PQ中点为M,

∵O1M⊥PQ,∴kO1M1???2.∴O1M的方程为:y-3=2?x??, 2??

?y?2x?4即:y=2x+4.由方程组?. x?2y?3?0?

解得M的坐标为(-1,2).

则以PQ为直径的圆可设为(x+1)+(y-2)=r.

∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.

∴(0+1)+(0-2)=r,即r=5,MQ=r.

在Rt△O1MQ中,O1Q=O1M+MQ. 222222222222

1?(?6)2?4m?1?2∴???1??(3-2)+5= 4?2?

∴m=3.∴半径为5?1?,圆心为??,3?. 2?2?2

方法三 设过P、Q的圆系方程为

x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知,点O(0,0)在圆上.

∴m-3?=0,即m=3?.

∴圆的方程可化为x+y+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0即x+(1+?)x+y+2(?-3)y=0. 222222

?1??2(3??)?∴圆心M???,又圆在PQ上. 22??

∴-1??5?1?+2(3-?)-3=0,∴?=1,∴m=3.∴圆心为??,3?,半径为. 22?2?

22例3 (12分)已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.

(1)求y-x的最大值和最小值;

(2)求x+y的最大值和最小值.

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

22

解 (1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时2?0?b

2?3,,解得b=-2±6. 5分

所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.

22 6分 (2)x+y表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为2?0)2?(0?0)2=2,

所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+4,

x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.

圆与直线方程

例1 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R). 

(1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上;

(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;

(3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

(1)证明 配方得:(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25,

设圆心为(x,y),则??x?3m,消去

?y?m?1m得

l:x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.

(2)解 设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0,则圆心到直线l1的距离为

d=m?3(m?1)?b3?b

?.

∵圆的半径为r=5,

∴当d<r,即-5-3<b<5-3时,直线与圆相交;

当d=r,即b=±5-3时,直线与圆相切; 8分 12分

当d>r,即b<-5-3或b>5-3时,直线与圆相离.

(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离d=3?b

(4)弦长=2r2?d2且r和d均为常量.

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

例2 从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.

解 方法一 如图所示,设l与x轴交于点B(b,0),则kAB=

反射光线的斜率k反=

2222?3,根据光的反射定律, b?333.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0. b?3b?3∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C(2,2),半径为1, ∴6?(b?3)?2?3b

9?(b?3)2=1,解得b1=-3,b2=1. 4

∴kAB=-34或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43

2222方法二 已知圆C:x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1:(x-2)+(y+2)=1,其圆心C1的坐标为(2,

-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.

设l的方程为y-3=k(x+3),则

∴k1=-5k?5?k22=1,即12k+25k+12=0. 234,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43

方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切. ??3?3kb??kk5k?534?2,消去b得∴?=1.即12k+25k+12=0,∴k1=-,k2=-. 2k?2?b43?k2??12???k

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

例3 已知圆C1:x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2:x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时,

(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含?

解 对于圆C1与圆C2的方程,经配方后

C1:(x-m)+(y+2)=9; C2:(x+1)+(y-m)=4.

(1)如果C1与C2外切,则有m?1)2?(m?2)2=3+2.

(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.

(2)如果C1与C2内含,则有m?1)2?(m?2)2<3-2.

(m+1)+(m+2)<1,m+3m+2<0,得-2<m<-1,

∴当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切;

当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.

例4(12分)已知点P(0,5)及圆C:x+y+4x-12y+24=0.

(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.

22解 (1)方法一 如图所示,AB=4,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=23,圆x+y+4x-12y+24=0可222222222222222222

化为(x+2)+(y-6)=16,圆心C(-2,6),半径r=4,故AC=4,

在Rt△ACD中,可得CD=2. 2分

设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx

第四章圆与方程知识点总结及习题答案

, 22

即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式:

?2k?6?5k2?(?1)2

=2,得k=

3. 4

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

4分 6分

又直线l的斜率不存在时,此时方程为x=0. 则y2

-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-2, ∴y2-y1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

方法二 设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 联立直线与圆的方程??y?kx?5

?

x2?y2

?4x?12y?24?0, 消去y得(1+k2)x2

+(4-2k)x-11=0

①?

x2k?41?x2?设方程①的两根为x,由根与系数的关系得??1,x2?1?k2

???

x1x2??

111?k2由弦长公式得?k2|x1-x2|=1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?43, 将②式代入,解得k=

3

4

,此时直线的方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.

(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0, (x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2

+y2

+2x-11y+30=0.

3.求过点P(4,-1)且与圆C:x2

+y2

+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的方程.

解 方法一 设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r, 则A,M,C三点共线,且有|MA|=|AP|=r,

因为圆C:x2

+y2

+2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),

8分2分

② 4分 8分

?n?22?3??则?m?11?1,

?(m?1)2?(n?2)2?(m?4)2?(n?1)2?r?

解得m=3,n=1,r=5,

所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.

方法二 因为圆C:x+y+2x-6y+5=0过点M(1,2)的切线方程为2x-y=0,

所以设所求圆A的方程为

x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,

因为点P(4,-1)在圆上,所以代入圆A的方程,

解得?=-4,

所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.

4.(2008·全国Ⅰ文,10)若直线

A.a+b≤1

答案D

5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 ( ) A.2  B.  C.3 D.35 222222222222xy22?=1与圆x+y=1有公共点,则 ab22 D. ( ) B.a+b≥1 C.11≤1 ?a2b211≥1 ?a2b2答案C

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