20##届高考数学复习——直线与圆的方程

【考试要求】（1）直线与方程

　　① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.

　　② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

　　③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

　　④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及

          一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

　　⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

　　⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

（2）圆与方程

　　① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

　　② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方

       程，判断两圆的位置关系.

　　③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

　　

【知识及公式回顾】

1. 点到直线距离：__________________________（已知点（p₀(x₀,y₀)与直线L：AX+BY+C=0）

   推论：两行平线间距离：L₁=AX+BY+C₁=0  L₂：AX+BY+C₂=0d=_________________

2. 对称问题：（

  1）点关于点对称：点P(x₁,y₁)关于M（x₀,y₀）的对称点（        ，         ）

  2）点关于线的对称：设点P(a,b),则其关于直线l的对称点的坐标？

    一般方法：

                                    P

                         y                     L

                                     P₀

                                                   x

3. 圆的方程

① 标准方程 ，______________为圆心，_______________为半径。

② 一般方程：，

______________, 半径__________________

当时，表示一个点。

当时，不表示任何图形。

4. 点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与半径r比较大小。

5. 直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

判定：利用圆心c (a、b) 到直线Ax+By+C=0的距离d来确定：

      d＜r_________、 d＝r_________、 d＞r___________

（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）

6. 圆与圆的位置关系

 由两圆心间距离与其半径进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）

【典型考题】

类型一：圆的方程

例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与

    圆的关系．

例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．

例3【2015湖南】若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.

类型二：直线与圆的位置关系

例4 【2015安徽】直线3x+4y=b与圆相切，则b=（   ）

   （A）-2或12       （B）2或-12        （C）-2或-12       （D）2或12

例5 求直线被圆截得的弦的长.

例6 已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例7 【20##全国卷1】已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

（II），其中O为坐标原点，求.

类型三：轨迹问题

例8 已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

例9 已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

第二篇：20xx届高考数学 必看之-知识点总结 直线和圆的方程

高中数学-直线和圆的方程

．

§07. 直线和圆的方程  知识要点

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.

注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.

注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.

3. ⑴两条直线平行：

∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）

推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.                   

⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）

4. 直线的交角：

⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.

⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.

5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.

注：

1.      两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距离公式：.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：

2.       定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).则 

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3.      直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:

4.      过两点.

当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).

2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)

3. 过定点（x₁,y₁）的直线系方程是：   A(x-x₁)+B(y-y₁)=0  (A,B不全为0)

4. 过直线l₁、l₂交点的直线系方程：（A₁x+B₁y+C₁）+λ( A₂x+B₂y+C₂）=0 (λ?R）   注：该直线系不含l₂.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.

②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.

二、圆的方程.

1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P₀(x₀ ,y)线C上的充要条件是f(x₀ ,y₀)=0

2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程  

②与轴相切的圆方程         

③与轴轴都相切的圆方程     

3. 圆的一般方程： .

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：①圆的参数方程：（为参数）.

②方程表示圆的充要条件是：且且.

③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内

②在圆上

③在圆外

5. 直线和圆的位置关系：

  设圆圆：；    直线：；

  圆心到直线的距离.

①时，与相切；

附：若两圆相切，则相减为公切线方程.

②时，与相交；

附：公共弦方程：设

有两个交点，则其公共弦方程为.

③时，与相离.

附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.

  由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：

与相切；

与相交；

与相离.

注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.

6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆

上一点的切线方程为：.

①一般方程若点(x₀ ,y₀)在圆上，则(x – a)(x₀ – a)+(y – b)(y₀ – b)=R². 特别地，过圆上一点的切线方程为.

②若点(x₀ ,y₀)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;    2）参数法;    3）定义法，    4）待定系数法.

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