第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的
半径。
2
（1222 点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系：
当(x0?a)?(y0?b)>r2，点在圆外
当(x0?a)?(y0?b)=r2，点在圆上
2当(x0?a)
?(y0?b)<r，点在圆内 222222
（21DE?，半径为当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?r?D2?E2?4F ??,???22?2
?E2?4F?0时，表示一个点；
22当D?E?4F?0时，方程不表示任何图形。 当D
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离
则有d?r?l与C相离
；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交
：①k不存在，验证是否成立②kk，得到方程【一定两解】
圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
22设圆C1:?x?a1?2??y?b1?2?r2，C2:?x?a2???y?b2??R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 2
当
d?R?
当
d?R?
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
圆的方程
基础自测
1.方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 （ ） A.a＜-2或a＞C.-2＜a＜0 答案D
2.（2009·河南新郑模拟）圆x+y+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围
是
（ ）
2
2
2
2
2
2 3
B.-
2
＜a＜0 3
2 3
D.-2＜a＜
1??
A.????
4??答案A
?1?
B.?0? ?4?
?1?
C.??,0? ?4?
1??
D.???,?
4??
（ ）
3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 A.（x-3）+(y+1)=4 C.（x-1）+(y-1)=4 答案C
4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 A.(x-2)+(y+1)=3 C.(x-2)+(y+1)=9 答案C
2
2
2
2
2
2
2
2
B.(x+3)+(y-1)=4 D.(x+1)+(y+1)=4
222
2
22
2
（ ）
B.(x+2)+(y-1)=3
D.(x+2)+(y-1)=9
2
2
2
2
5.（2009·宜昌模拟）直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）+(y+b)=r (r＞0)的圆心位于（ ）A.第一象限 C.第三象限
答案B
B.第二象限
D.第四象限
例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）A.x+y-2x-3=0 C.x+y+2x-3=0 答案D
2
22
2
2
2
B.x+y+4x=0
2
2
D.x+y-4x=0
例2 已知圆x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x+y+x-6y+m=0,得5y-20y+12+m=0.
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
5?1?∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为??，3?,半径r=. 2?2?2222212?m. 5
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴kO1M1???2.∴O1M的方程为:y-3=2?x??, 2??
?y?2x?4即：y=2x+4.由方程组?. x?2y?3?0?
解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴（0+1）+（0-2）=r，即r=5,MQ=r.
在Rt△O1MQ中，O1Q=O1M+MQ. 222222222222
1?(?6)2?4m?1?2∴???1??(3-2)+5= 4?2?
∴m=3.∴半径为5?1?,圆心为??,3?. 2?2?2
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3?=0，即m=3?.
∴圆的方程可化为x+y+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0即x+(1+?)x+y+2(?-3)y=0. 222222
?1??2(3??)?∴圆心M???，又圆在PQ上. 22??
∴-1??5?1?+2（3-?）-3=0，∴?=1，∴m=3.∴圆心为??,3?，半径为. 22?2?
22例3 （12分）已知实数x、y满足方程x+y-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x+y的最大值和最小值.
22
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2?0?b
2?3,，解得b=-2±6. 5分
所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.
22 6分 （2）x+y表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2?0）2?（0?0）2=2，
所以x2+y2的最大值是（2+3）2=7+4，
x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.
圆与直线方程
例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；
（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
（1）证明 配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25，
设圆心为（x，y），则??x?3m,消去
?y?m?1m得
l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.
（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为
d=m?3(m?1)?b3?b
?.
∵圆的半径为r=5，
∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交；
当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切； 8分 12分
当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离.
（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=3?b
（4）弦长=2r2?d2且r和d均为常量.
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.
例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x+y-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.
解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=
反射光线的斜率k反=
2222?3,根据光的反射定律， b?333.∴反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0. b?3b?3∵已知圆x+y-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1, ∴6?（b?3）?2?3b
9?(b?3)2=1,解得b1=-3,b2=1. 4
∴kAB=-34或kAB=-.∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43
2222方法二 已知圆C：x+y-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)+(y+2)=1，其圆心C1的坐标为（2，
-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.
设l的方程为y-3=k(x+3),则
∴k1=-5k?5?k22=1,即12k+25k+12=0. 234，k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 43
方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切. ??3?3kb??kk5k?534?2,消去b得∴?=1.即12k+25k+12=0,∴k1=-,k2=-. 2k?2?b43?k2??12???k
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
例3 已知圆C1：x+y-2mx+4y+m-5=0,圆C2：x+y+2x-2my+m-3=0,m为何值时，
（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？
解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1:(x-m)+(y+2)=9; C2:(x+1)+(y-m)=4.
(1)如果C1与C2外切，则有m?1）2?(m?2)2=3+2.
(m+1)+(m+2)=25.m+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
（2）如果C1与C2内含，则有m?1）2?(m?2)2＜3-2.
(m+1)+(m+2)＜1,m+3m+2＜0,得-2＜m＜-1,
∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；
当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.
例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x+y+4x-12y+24=0.
（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
22解 （1）方法一 如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x+y+4x-12y+24=0可222222222222222222
化为（x+2）+（y-6）=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，
在Rt△ACD中，可得CD=2. 2分
设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx
, 22
即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式：
?2k?6?5k2?(?1)2
=2，得k=
3. 4
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
4分 6分
又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0. 则y2
-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-2, ∴y2-y1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5, 联立直线与圆的方程??y?kx?5
?
x2?y2
?4x?12y?24?0, 消去y得（1+k2）x2
+(4-2k)x-11=0
①?
x2k?41?x2?设方程①的两根为x,由根与系数的关系得??1,x2?1?k2
???
x1x2??
111?k2由弦长公式得?k2|x1-x2|=1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?43, 将②式代入，解得k=
3
4
，此时直线的方程为3x-4y+20=0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,则CD⊥PD，即·=0， （x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2
+y2
+2x-11y+30=0.
3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2
+y2
+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.
解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，
因为圆C：x2
+y2
+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），
8分2分
② 4分 8分
?n?22?3??则?m?11?1,
?(m?1)2?(n?2)2?(m?4)2?(n?1)2?r?
解得m=3,n=1,r=5,
所以所求圆的方程为(x-3)+(y-1)=5.
方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,
所以设所求圆A的方程为
x+y+2x-6y+5+?(2x-y)=0,
因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程，
解得?=-4,
所以所求圆的方程为x+y-6x-2y+5=0.
4.（2008·全国Ⅰ文，10）若直线
A.a+b≤1
答案D
5.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ ） A.2 B. C.3 D.35 222222222222xy22?=1与圆x+y=1有公共点，则 ab22 D. ( ) B.a+b≥1 C.11≤1 ?a2b211≥1 ?a2b2答案C
第二篇：方程与方程组知识点总结及习题
方程与方程组
一．一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
三．一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1 韦达定理
韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a，也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。它描述了根与系数的关系，在题目中很常用。 2 一元二次方程根的情况
利用根的判别式去了解根的分布情况，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：
I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III 当△<0时，一元二次方程没有实数根
3 一元二次方程的解法
(1）配方法
利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 配方法的步骤：
先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
(2)分解因式法
提取公因式，和十字相乘法。利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 分解因式法的步骤：
把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘（利用根与系数的关系），如果可以，就可以化为乘积的形式
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
(3)公式法
这
以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根?b?X? 2a公式法的步骤：
就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
一元一次方程
1．在①2x?1；②2x?1?3x；③π?3?π?3；④t?1?3中，等式有_______，方程有_______．（填入式子的序号）
2 某书店按标价的八折售出,仍可获利20﹪,若该书的进价为18元,则标价为( )
A. 27元 B. 28元 C. 29元 D，30元
3 小明把400元钱存入银行,年利率为1.8%,到期时小明得到利息36元,则她一共存了( )
A、6年 B、5年 C、4年 D、3年
4．求方程 3x＋3 ? 1 1 6 ·? x－1 x＋1 ÷ x =＋1 x
5．（7分）去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务. 问原计划每天修水渠多少米？
二元一次方程组
6若方程(m?2)x
＝＿＿＿。
7方程组?
?2x?3y?k8已知关于x、y的方程组?的解的和是12，则k?_______。 3x?2y?k?2??3x?4y?7?ax?2y?10|m?1|?(n?3)yn?8?0是关于x、y的二元一次方程，则m=＿＿＿，n的解x、y满足关系式y??x，则a＝______________。
?2(x?y)?3(x?y)?139 ? 3x?y?2x?y?13?????
10．(8分)某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标
价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
11、现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的浓度为30％，乙种酒精的浓度为80％，今要得到
浓度为50％的酒精溶液50千克，问甲、乙两种酒精溶液各取多少？
一元二次方程
12.方程y2?a?0的根是 （ ）
（A
）（B）无解; （C）0; （D
）.
13.方程(x?1)(x?3)?1的两个根是 （ ）
（A）x1?1,x2?3; （B）x1?2,x2?4;
（C
）x1?2?x2?2?（D
）x1??2?x2??2?14.如果二次三项式mx2?5x?7在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是 （ ）
（A）m?25
28； （B）m?0；
28
25,且m?0； （D）m?5
7，且m?0. （C）0?m?
15.已知关于x的方程x2?mx?5?0的一个根是5，那么m= .
16.因式分解：x2?1?2x?17.已知3x?x?1的值为2，则9x?3x?1的值为18.某工厂在第一季度的生产中，一月份的产值为150万元，二、三月份产值的月增长率相同.已知第一季度的总产值是650万元，求二、三月份的月增长率？现设二、三月份的月增长率为x，则根据题意可列出方程 .
19．已知关于x的方程m?m2?1?x2?mx?3?m?0有实根，求m的值.
20．关于x的一元二次方程(k?4)x?2x?1?0: (1)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围； (2)当k是怎样的正整数时，方程没有实数根.
21．已知x为实数，且(x?2x)(x?2x?1)?6，求x的值.
22．已知三角形的边长1和2，第三边长为0.09y?0.21y?0.1?0的根，求这个三角形的周长. 222222