第三章  直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围：    0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),x₁≠x₂,用两点的坐标来表示直线P₁P₂的斜率：

    斜率公式: k = y₂-y₁/x₂-x₁          

3.1.2 两条直线的平行与垂直

 1、两条直线的平行

  ① 若两条直线的斜率都存在，则 ：k₁ = k₂ <=> L₁∥L₂或者L₁与L₂重合

  ② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在 ；⑵ 两条直线的斜率存在，且k₁ = k₂

     （若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k₁ = k₂ 且纵截距不相等； 若已知两条直线的斜率不存在且                平行，则应横截距不相等）

 2、两条直线垂直

  ①若两条直线的斜率都存在，则 ：k₁· k₂ = - 1 <=> L₁ ⊥ L₂

  ②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；

                            ⑵ 两条直线的斜率存在：k₁· k₂ = - 1

 3、利用系数来判断平行与垂直

 ★  已知 L₁ : A₁x+B₁y+C₁=0      ,     L₂ : A₂x+B₂y+C₂=0  那么：

   ① A₁B₂-A₂B₁=0两条直线平行或重合

   ② A₁B₂-A₂B₁ ≠0两条直线相交             ③ A₁A₂ + B₁B₂ = 0两条直线垂直

 ★如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

          已知 L₁ : A₁x+B₁y+C₁=0      ① ,     L₂ : A₂x+B₂y+C₂=0       ② 

⑴ 若两条直线平行：则由A₁B₂-A₂B₁=0 这一个（有关于参数的）方程先算出参数的值；再将参数的值代

   入原来的直线方程验证，将使得直线重合的参数的值舍去。

⑵ 若两条直线相交： 则由A₁B₂-A₂B₁ ≠0 计算参数的值。

⑶ 若两条直线垂直： 则由A₁A₂ + B₁B₂ = 0计算参数的值。

3.2.1  直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l经过点P₀（x₀，y₀），且斜率为k ，则直线方程为 y-y₀ = k（x-x₀）

2、 直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）则直线方程为 y = kx + b

3.2.2  直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点其中  

  ① 不适用范围 ：平行或重合于坐标轴（x轴、y轴）的直线不能用两点式方程

  ② 过任意两个不同的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的直线方程：（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）

2、直线的截距式方程：直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），（a ≠0 ，b≠0）

   此时的直线方程为

   不适用范围 ：① 平行或重合于坐标轴（x轴、y轴）的直线不能用截距式方程

                ② 过原点的直线不能用截距式方程

 

3.2.3  直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0；亦即A²+B²≠0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

 1、给出例题：两直线交点坐标L ₁ ：3x+4y-2=0    L ₂：2x+y +2=0                                                                                                         

   解：解方程组      得 x=-2，y=2  所以L₁与L₂的交点坐标为M（-2，2）

 一、两点间距离公式：

 二、点到直线的距离公式

  1、点到直线距离公式：

   点到直线的距离为：

  2、两平行线间的距离公式：

   已知两条平行线直线和的一般式方程为：   ：，

 则与的距离为（前提：直线与直线的x、y前的对应系数必须相等）

 三、直线系与直线系方程

 1.直线系：一般的，具有某些共同性质的直线的集合称之为直线系。

 2.① 过定点P₀(x₀,y_o)的直线系方程:y-y₀=k(x-x₀)或x=x₀ ；共同特征都过定点(x₀,y₀)

   ② 斜率为k的直线系方程:y=kx+b

   ③ 与已知直线l:Ax+By+C=0 平行的直线系方程：Ax+By+=0（为参数且≠C）

   ④ 与已知直线l:Ax+By+C=0 垂直的直线系方程：Bx-Ay+=0

★过定点的直线系不要忘记运算斜率不存在的情况。（即x=x₀这条直线）

3.两直线的交点直线系 

已知 L₁ : A₁x+B₁y+C₁=0           L₂ : A₂x+B₂y+C₂=0    直线L₁与直线L₂ 相交，

则过两直线交点的直线系方程为：A₁x+B₁y+C₁+λ（ A₂x+B₂y+C₂）=0  ①  （ ①的直线系中不包括直线L₂）★ 为使该直线系包括过交点的所有直线，直线方程可以写成：

    λ₁（A₁x+B₁y+C₁）+λ₂（ A₂x+B₂y+C₂）=0（λ₁ λ₂不同时为0）

第二篇：高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案      必修2第三章：直线与方程

一、知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是.

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：

（1）Û；（2）Û.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.

2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或.

4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线经过两点，其方程为，

2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段中点坐标公式.

直线的一般式方程

1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.

2. 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.

3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）；   （2）；

（3）与重合； （4）与相交.

如果时，则；与重合；与相交.

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.

两点间的距离

1. 平面内两点，，则两点间的距离为：.

特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；

点到直线的距离及两平行线距离

1. 点到直线的距离公式为.

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为

二、直线方程对应练习

一.选择题

1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（    ）

A.x-2y-1=0    B. x-2y+1=0   C.  2x+y-2=0   D. x+2y-1=0

2.  过点且垂直于直线 的直线方程为（     ）

A.       B.    C.       D. 

3.  已知过点和的直线与直线平行，则的值为（　　）

A.        B.       C.        D. 

4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（    ）

A . 3x+2y-1=0  B. 3x+2y+7=0   C. 2x-3y+5=0   D. 2x-3y+8=0

5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为，切则a,b满足  （    ）

A. a+b=1  B. a-b=1  C. a+b=0  D. a-b=0

6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=        

A、 -3       B、-6         C、       D、

7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（   ）

A 2       B      C 1        D  

8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是

A（-2，1）   B （2，1）   C （1，-2）    D （1，2）

9. （上海文，15）已知直线平行，则k值是（      ）    

A.  1或3        B.1或5         C.3或5        D.1或2

10 、若图中的直线L₁、L₂、L₃的斜率分别为K₁、K₂、K₃则（     ）

          A 、K₁﹤K₂﹤K₃

B、K₂﹤K₁﹤K₃

          C 、K₃﹤K₂﹤K₁

          D 、K₁﹤K₃﹤K₂

11、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（     ）

A.3x-2y-6=0                     B.2x+3y+7=0  

C. 3x-2y-12=0                    D. 2x+3y+8=0

12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则(    )

A. ab＞0，bc＞0                       B. ab＞0，bc＜0

C. ab＜0，bc＞0　　　　  　         　D. ab＜0，bc＜0

13. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x垂直，则原点到直线 l 的距离是(    )

A. 2           B. 1    C.       D. 2

14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为(    )

A.     B.    C.    D.

二、填空题

1.  点到直线的距离是________________。

2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a的值为________________。

3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距离的直线的方程是                    。

4.（全国卷文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ①   ②   ③   ④    ⑤   

其中所有正确答案的序号是           .

三.解答题

1.已知两条直线.  为何值时,

（1）相交   （2）平行  （3）垂直

2.  求经过直线的交点且平行于直线的直线方程. 

3.求平行于直线且与它的距离为的直线方程。

4.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

5.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。