段考复习总结

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围：    0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

    斜率公式: k=y2-y1/x2-x1          

3.1.2两条直线的平行与垂直  (理解)

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1  直线的点斜式方程   （理解）

1、  直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为     

2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为   

3.2.2  直线的两点式方程   （理解）

1、直线的两点式方程：已知两点其中    y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程：          已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中

3.2.3  直线的一般式方程   （理解）

1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式    (重点)

3.3.1 两直线的交点坐标 (理解，实际上是解方程)

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ：3x+4y-2=0    L1：2x+y +2=0                                                                                                        

解方程组                         得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.2        两点间距离（直接背，实际上是勾股定理）

        两点间的距离公式：

3.3.3   点到直线的距离公式（直接背）

1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为、

第四章                 圆与方程

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点与圆的关系的判断方法：       （理解）

（1）>，点在圆外  （2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

4.1.2  圆的一般方程

1、圆的一般方程： 

2、圆的一般方程的特点：

 (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．

 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系    （理解，记得点到直线距离公式是基础）

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相交；

4.2.2  圆与圆的位置关系    （理解）

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；

4.2.3  直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

第二篇：直线与方程知识点总结与典型习题分类练习解析(精品)

卓越个性化教案学生姓名年级高一授课时间教师姓名课时GFJW0901

02直线与方程

【知识点】

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

当??0,90时，k?0；

在。????当??90,180????时，k?0；当??90时，k不存?

②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2)x2?x1（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围2特殊的方程如：○注意：○

x轴的直线：y?b（by轴的直线：（a（7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0相交

A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。?Ax?By?C?022?2

方程组无解?l1//l2；方程组有无数解?

1l1与l2重合

卓越个性化教学讲义

（9一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0（10已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，

l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2（11）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0x?B0y?C?0（C为常数）

（二）垂直直线系

垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

B0x?A0y?C?0（C为常数）

（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：（ⅱ）过两条直线l1为

y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程

，其中直线l2不在直线系中。?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）

【课堂讲解与练习】

直线的方程

333

1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a）、B（b，b）、C（c，c）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，

a3?b3a3?c3

∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，?

a?ba?c

∴b-c+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，

∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.

2.（2009·宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么

（A.

12

y

的最大值为x

22

）

B.

33

C.

32

D.答案D

3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求

直线l1,l3的方程.

解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为

2

yx

?=1，将（-5，2）代入所设方2aa

25

25

34

卓越个性化教学讲义程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.3412（2）设直线l2的倾斜角为?,则tan?=.于是tan?2=1?cos?=sin?1?45?1,33

5

3

2tan?4?24,所以所求直线l的方程为y-6=1(x-8),?tan2?=1371?tan2?1?(3)2

42?

即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=24(x-8),即24x-7y-150=0.7

4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.

解方法一设直线l的方程为xy??1（a＞0,b＞0）,ab

∴A(a,0),B(0,b),

?ab?24,?a?6,∴?解得??32?b?4.?a?b?1.?

∴所求的直线方程为?

方法二x6y=1,即2x+3y-12=0.4设直线l的方程为y-2=k(x-3),

2,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.k

2

3令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-??2?k?23∴?3??(2-3k)=24.解得k=-.∴所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.

解方法一直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.

kAP=

则-?1?1?1?23=-2，kAQ==，0?10?22131≥或-≤-2，m2m

2

312∴-≤m≤且m≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是-≤m≤.

方法二过P、Q两点的直线方程为y-1=2?114(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,2?1332312

整理，得x=-7m7m.由已知-1≤-≤2,m?3m?3解得-≤m≤.2

312

两直线方程

2例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a-1=0,

（1）试判断l1与l2是否平行；

（2）l1⊥l2时，求a的值.

3

卓越个性化教学讲义

解

（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-x-3,l2:y=

a2

1

x-(a+1),1?a

1?a

???

l1∥l2??21?a，解得a=-1,

??3??(a?1)?

综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.方法二

由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a-1)-1×6≠0,

?a(a?1)?1?2?0

∴l1∥l2???2

??a(a?1)?1?6?0

2??a?a?2?0

???a=-1,

2?a(a?1)?6?

2

故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.

（2）方法一

当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.

a112?a?

x-3,l2:y==-1?a=.x-(a+1),由???·21?a1?a3?2?

2

3

当a≠1时，l1:y=-方法二

由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0?a=.

例3（12分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

解方法一若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.

若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由?

?y?k(x?3)?1?3k?21?4k?

,解得A?,?.

x?y?1?0k?1k?1???

8分

由?

?y?k(x?3)?1?3k?71?9k?

,解得B??,

?k?1k?1??x?y?6?0

2

2

由两点间的距离公式，得

?3k?23k?7??1?4k1?9k?

????+??=25，k?1??k?1k?1??k?1

解得k=0,即所求直线方程为y=1.

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.

方法二设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5①6分

22

又(x1-x2)+(y1-y2)=25②联立①②可得?

?x1?x2?5?x?x?0

或?12,

?y1?y2?0?y1?y2?5

10分

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，

4

卓越个性化教学讲义故所求的直线方程为x=3或y=1.例4求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.

解方法一由??y?2x?3

?y?x?1知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），

∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，

由点到直线的距离公式得

k?2?2k?1

1?k22=2?2?32?(?1)22，

解得k=(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.

方法二设所求直线上一点P（x,y）,

则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.

由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点

?y0?y?x?x?1??1?x?y?1?x?x0y?y0??0P2?，变形得?0,?2,2??在直线l上.∴?y?x?1y?yx?x???0?00??1?2?212

代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.

分类例题解析

3.1直线的倾斜角与斜率

3.1．1倾斜角与斜率

【典型例题】

题型一求直线的倾斜角

例1已知直线lA.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

变式训练：）.

设直线l过原点，其倾斜角为?，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则l1的倾斜角为（

A.）。B.??45???135?C.135???

D.当0°≤α＜135°时为??45?，当135°≤α＜180°时，为??135?题型二求直线的斜率

例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对

角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练：已知过两点A(m2?2,m2?3),B(3?m2?m,2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

5

卓越个性化教学讲义题型三直线的倾斜角与斜率的关系例

3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.

A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2

拓展一三点共线问题

例4已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

变式训练:

若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（）.

A．a?4,b?5B．b?a?1C．2a?b?3D．a?2b?3

拓展二与参数有关问题

例5已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

变式训练：

已知A(2,?3),B(?3,?2)两点，直线l过定点P(1,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围.

拓展三利用斜率求最值

例6已知实数x、y满足2x?y?8,当2≤x≤3时，求y的最大值与最小值。x

变式训练：利用斜率公式证明不等式：a?ma?(0?a?b且m?0)b?mb

3.1.2两条直线平行与垂直的判定

【典型例题】

题型一两条直线平行关系

6

卓越个性化教学讲义

例1已知直线l1经过点M（-3，0）、N（-15，-6），l2经过点R（-2，

判断l1与l2是否平行？35）、S（0，），试22

变式训练：经过点P(?2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是（

A．4B．1C．1或3D．1或4

题型二两条直线垂直关系

例2已知?ABC的顶点B(2,1),C(?6,3)，其垂心为H(?3,2)，求顶点A的坐标．）.变式训练：（1）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问l1与l2是否垂直？

（2）直线l1,l2的斜率是方程x2?3x?1?0的两根，则l1与l2的位置关系是

题型三根据直线的位置关系求参数.

例3已知直线l1经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线l2经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,

（1）如果l1//l2，则求a的值；（2）如果l1⊥l2，则求a的值

题型四直线平行和垂直的判定综合运用

例4四边形ABCD的顶点为A(2,2?、B(?2,2)、C(0,2?、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状.

变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．探点一数形结合思想

例5已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

7

卓越个性化教学讲义

探点二分类讨论思想

例6?ABC的顶点A(5,?1),B(1,1),C(2,m)，若?ABC为直角三角形，求m的值.

3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

【典型例题】

题型一求直线的方程

例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点A(2,5)，斜率是4；（2）经过点B(3,?1)，倾斜角是30?.

例2倾斜角是135?，在y轴上的截距是3的直线方程是.

变式训练：

1.已知直线l过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y?x?1的两倍，则直线l的方程为

2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.

3.将直线y?x?1绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是.

题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题

例3已知直线l1的方程为y??2x?3,l2的方程为y?4x?2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程。

探究一直线恒过定点或者象限问题

例4.已知直线y?kx?3k?1.

（1）求直线恒经过的定点；

（2）当?3?x?3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

8

卓越个性化教学讲义

探究二直线平移

例5已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________

3.2.2直线的两点式方程

【典型例题】

题型一求直线方程

例1已知△ABC顶点为A(2,8),B(?4,0),C(6,0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.

变式训练：

1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.

A．4x?2y?5B．4x?2y?5C．x?2y?5D．x?2y?5

2.已知2x1?3y1?4,2x2?3y2?4，则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是（）.

A.2x?3y?4B.2x?3y?0C.3x?2y?4D.3x?2y?0

例2求过点P(3,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为题型二直线方程的应用

例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

（千克）

探究一直线与坐标轴围成的周长及面积

例4已知直线l过点(?2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．探究二有关光的反射

例5光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，

6），求射入y轴后的反射线的方程.

9

卓越个性化教学讲义

变式训练：已知点A(?3,8)、B(2,2)，点P是x轴上的点，求当AP?PB最小时的点P的坐标．

3.2.3直线的一般式方程

【典型例题】

题型一灵活选用不同形式求直线方程

例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

1（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于x轴；2

3（3）在x轴和y轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点P、P2（5，－4）.1（3，－2）2

题型二直线不同形式之间的转化

例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点A(?5,6),B(?4,8).题型三直线一般式方程的性质

例3直线方程Ax?By?C?0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.

变式训练：已知直线l:5ax?5y?a?3?0。

（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。

题型四运用直线平行垂直求参数

例4已知直线l1：x?my?2m?2?0，l2：mx?y?1?m?0，问m为何值时：

（1）l1?l2；（2）l1//l2.

10

卓越个性化教学讲义

变式训练：（1）求经过点A(3,2)且与直线4x?y?2?0平行的直线方程；

（2）求经过点B(3,0)且与直线2x?y?5?0垂直的直线方程.

题型五综合运用

例5已知直线l1:x?my?6?0，l2:(m?2)x?3y?2m?0，求m的值，使得：

（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

3.3.2两点间的距离

【典型例题】

题型一求直线的交点坐标

例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

（1）直线l1:2x－3y+10=0,l2:3x+4y－2=0；（2）直线l1:nx?y?n?1,l2:ny?x?2n.题型二三条直线交同一点

例2若三条直线2x?3y?8?0,x?y?1?0，kx?y?2?0相交于一点，则k的值等于变式训练：1.设三条直线：x?2y?1,2x?ky?3,3kx?4y?5交于一点，求k的值

2.试求直线l1:x?y?2?0关于直线l2:3x?y?3?0对称的直线l的方程.

题型三求过交点的直线问题

例3求经过两条直线2x?y?8?0和x?2y?1?0的交点，且平行于直线4x?3y?7?0的直线方程.

11

卓越个性化教学讲义

变式训练：已知直线l1:2x-3y+10=0,l2:3x+4y-2=0.求经过l1和l2的交点，且与直线l3:3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.

题型四两点间距离公式应用

例4已知点A(?2,?1),B(a,3)且|AB|?5，则a的值为

变式训练：

在直线2x?y?0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为５，并求直线PM的方程.题型五三角形的判定

例5已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)，判断?ABC的类型．

探究一直线恒过定点问题

例6已知直线(a?2)y?(3a?1)x?1.求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.

变式训练：若直线l：y＝kx2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.

探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）

例7直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

12

卓越个性化教学讲义

变式训练：已知M(1,0)、N(?1,0)，点P为直线2x?y?1?0上的动点．求PM2?PN2的最小值，及取最小值时点P的坐标．

3.3.3点到直线的距离

3.3.4两条平行直线间的距离

拓展：点关于点、直线对称点的求法

【典型例题】

题型一利用点到直线距离求参数

例1已知点(a,2)(a?0)到直线l:x?y?3?0的距离为1，则a=（

ABC?1

题型二利用点到直线距离求直线的方程D?1）.

110例2求过直线l1:y??x?和l2:3x?y?0的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.33

变式训练：

直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是题型三利用平行直线间的距离求参数

例3若两平行直线3x?2y?1?0和6x?ay?c?0之间的距离为c?2，求的值.13a变式训练：两平行直线5x?12y?3?0与10x?24y?5?0间的距离是（

A.）.2

13B.1

13C.1

26D.5

26

题型四利用平行直线间的距离求直线的方程

例4与直线l:5x?12y?6?0平行且与l的距离2的直线方程是

13

卓越个性化教学讲义

题型五点、直线间的距离的综合运用

例5已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

探究一

例6与直线有关的对称问题△ABC中，A(3,3),B(2,?2),C(?7,1).求∠A的平分线AD所在直线的方程.变式训练：1.与直线2x?3y?6?0关于点（1，-1）对称的直线方程是

2．求点A（2，2）关于直线2x?4y?9?0的对称点坐标

探究二与距离有关的最值问题

例7在函数y?4x2的图象上求一点P，使P到直线y?4x?5的距离最短，并求这个最短的距离.

变式训练：在直线l:3x?y?1?0上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。

14

卓越个性化教学讲义

【作业】

一.选择题

1.(安徽高考)过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.A.

过点P(?1,3)且垂直于直线x?2y?3?0的直线方程为（

）

）

D.

2x?y?1?0

B.

2x?y?5?0

C.

x?2y?5?0

x?2y?7?0

3.A.

已知过点A(?2,m)和B(m,4)的直线与直线2x?y?1?0平行，则m的值为（

）

B.

?8

C.

2

D.

10

）

4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（A.3x+2y-1=0

B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0

D.2x-3y+8=0

（

）

5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为?，且sin??cos??0则a,b满足A.a+b=1

B.a-b=1

C.a+b=0

D.a-b=0C、?3

2

6.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A、-3

B、-6

D、2

3

7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（A2

B1

2

C1

D

72

）

8.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A（-2，1）

B（2，1）

C（1，-2）

D（1，2）

9.（上海文，15）已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则k得值是（A.

1或3

）B.1或5

C.3或5

D.1或2

10、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3A、K1﹤K2﹤K3B、K2﹤K1﹤K3C、K3﹤K2﹤K1

D、K1﹤K3﹤K2

）L3

L2

xL1

11.（北京卷）“m=的(

)

1

”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”2

（B）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件

）

（A）充分必要条件（C）必要而不充分条件

12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（

A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0

15

卓越个性化教学讲义C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0)

C.ab＜0，bc＞0D.ab13.若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则(A.ab＞0，bc＞0

＜0，bc＜0

14.（北京文）“m=B.ab＞0，bc＜01”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”2

()

B.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件的A.充分必要条件C.必要而不充分条件

15.如果直线l经过两直线2x-3y+1=0和3x-y-2=0的交点，且与直线y=x垂直，则原点到直线l的距离是(

A.2B.1)C.

)2D、2216.原点关于x-2y+1=0的对称点的坐标为(

2??4A.?， -?5??5

二、填空题

1.?24?B.?-， ?55???42?C.?， ?55??4??2D.?， -?5??5点P(1,?1)到直线x?y?1?0的距离是________________.

2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a的值为（）

3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距离

的直线的方程是。

4.（全国Ⅰ文16）若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15

其中正确答案的序号是

三.解答题

1.已知两条直线l1:x?1?m?y?2?m,l2:2mx?4y??16.

（1）相交

2.（2）平行（3）垂直?②30?③45?④60?⑤75?.（写出所有正确答案的序号）?m为何值时,l1与l2:求经过直线l1:2x?3y?5?0,l2:3x?2y?3?0的交点且平行于直线2x?y?3?0的直线方程.

3.求平行于直线x?y?2?0,且与它的距离为16

卓越个性化教学讲义

4.已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，求l1，l2之间的距离为时的直线l1的方程.

5.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。

7.（本题12分）经过点A（3，0）且与直线2x+y－5=0垂直的直线方程。

8.（本题12分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0

求AC边上的高所在的直线方程.

9.（本题12分）已知?ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x?2y?1?0，AC边上的高BH所在直线的方程为y?0.求?ABC的顶点B、C的坐标；

10.（本题14分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与

Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的

方程

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卓越个性化教学讲义

11.（本题14分）过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，

当?AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值12求经过点A(?2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程

13.一直线被两直线l1:4x?y?6?0,l2:3x?5y?6?0截得线段的中点是P点，当P点为(0,0)14.把函数y?f?x?在x?a及x?b之间的一段图象近似地看作直线，设a?c?b，

证明：f?c?的近似值是：f?a?c?af?b??f?a????a15.直线y??x?1和x轴，y轴分别交于点A,B，在线段AB为边在第一象限内作等3

1

2边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m,使得△ABP和△ABC的面积相等，

求m的值

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