圆与方程
一. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2. 例题：圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是
二. 点与圆的位置关系：
1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆内
d＜r； (2)点在圆上
d=r； （3）.点在圆外
d＞r
2. 给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.
①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2
（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2
三. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
?DE?(1) 当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F. 2
(2) 当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2
(3) 当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图形.
注：方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
下列方程能表示圆的是（ ）．
A. x2＋y2＋2x＋1＝0； B. x2＋y2＋20x＋121＝0；
C. x2＋y2＋2ax＝0． D.x2＋y2＋2ay－1＝0；
四． 直线与圆的位置关系：
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2；圆心到直线的距离d?Aa?Bb?C
A?B22
1）d?r?直线与圆相离?无交点；2）d?r?直线与圆相切?只有一个交点；
1
3）d?r?直线与圆相交?有两个交点；弦长|AB|=2r2?d2
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?
的个数来判断：
（1）当??0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当??0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当??0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； ?Ax?By?C?0?x?y?Dx?Ey?F?022求解，通过解
例：1.直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为
3.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于
4.圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．
五. 两圆的位置关系
22（1） 设两圆C1:(x?a1)2?(y?b1)2?r1与圆C2:(x?a2)?(y?b2)?r2， 22
圆心距d?(a1?a2)2?(b1?b2)2 d?r1?r2?外离?4条公切线
d?r1?r2?外切?3条公切线 r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线
d?r1?r2?内切?1条公切线 0?d?r1?r2?内含?无公切线
两圆公共弦所在直线方程圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0，
圆C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0，
则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程.
例1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是
2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为
3.圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0的公切线条数是________．
4.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．求两圆公共弦所在直线的方程；
六. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
②? k不存在，验证是否成立
2
?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1) ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即?R??R2?1?
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)，
则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。
例.已知圆C1：x +y —2x =0和圆C2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，
若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 222222222222
3
第二篇：必修2数学 圆与方程 知识点总结 复习试题D
必修2数学圆与方程知识点总结复习试题D
一、选择题
1.若直线
与两坐标轴的交点分别为A、B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为（ ）
A. 
B.
C.
D. 
2.已知圆C与直线
都相切，圆心在直线
上，则圆C的方程为（ ）
A.
B.
C．
D．
3.若过定点
且斜率为
的直线与圆
在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( )
4.过点
圆
的切线,则切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.直线x－y+3=0被圆（x+2）2+（y－2）2=2截得的弦长等于（ ）
A．
B．
C．2 D．
6.由动点Ｐ向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为 （ )
A. x2+y2=4 B. x2+y2=3 C. x2+y2=2 D. x2+y2=1
7.若实数x、y满足等式
,那么
的最大值为( )
A.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
8.设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时,r的取值范围是（ ）
A．（0,－1） B．（0,1] C．（0,2－] D．（0,]
9.将直线
沿
轴向左平移1个单位,所得直线与圆
相切,则实数
的值为 （ ）
A.－3或7 B.－2或8 C.0或10 D.1或11
10.已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形( )
A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在
11.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
12. 两圆
和
恰有三条公切线，若
，且
，则
的最小值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13. 已知 圆
和圆
相交于P、Q两点,则直线PQ截在 圆 
内的弦长为 ______
14.圆
上只有一个点到直线
的距离为1,则实数
的值为 .
15.若圆
与圆
（
）的公共弦长为6,则a=________.
16. 设直线
与圆
相交于A、B两点,且弦长为
,则a= .
三、解答题：（本大题共6小题，17—21题每题12分,22题14分,共74分）．
17. （本小题满分12分）已知圆x2＋y2＋x－6y＋3=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q,求以PQ为直径的圆的方程．
18. 已知圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为
，求圆C的方程
19.已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明M的轨迹是什么图形.
20. 如图，已知要从经过广场上的两点
,
所在的直线上的P点向广场上的圆形
花坛画出两条切线， A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
21.在平面直角坐标系xOy中，曲线
与坐标轴的交点都在圆C上.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线
交与A，B两点，且
，求a的值。
22. 已知圆C:
及直线
.
（1）证明:不论
取什么实数,直线
与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．