高中数学必修2知识点总结

第四章圆与方程

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点与圆的关系的判断方法：

（1）>，点在圆外  （2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

4.1.2  圆的一般方程

1、圆的一般方程： 

2、圆的一般方程的特点：

 (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．

 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相交；

4.2.2  圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；

（3）当时，圆与圆相交；

（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；

4.2.3  直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标

2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点到点之间的距离公式

第二篇：高中数学必修2知识点总结04 圆与方程

高中数学必修2知识点总结04 圆与方程

    坐标法是以坐标系为桥梁，把研究几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的研究方法。通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。教材要求：掌握如何在直角坐标系中建立圆的方程；并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系；掌握空间直角坐标系的有关知识；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

一、圆与方程高考考试内容及考试要求：

掌握圆的标准方程和一般方程；了解参数方程的概念；理解直线与圆、圆与圆的位置关系；掌握空间直角坐标系的有关知识；

二、圆的方程

课标要求：

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

要点精讲：

1．圆的方程

（1）圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：。（其参数方程为（θ为参数））特殊地，当a=b=0时，圆心在原点的圆的方程为：（其参数方程为（θ为参数））。

（2）圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

（3）二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：

①、x²项y²项的系数相同且不为0，即；

②、没有xy项，即B=0；③、。

（4）点与圆的关系的判断方法：

1），点在圆外；2），点在圆上；

3），点在圆内

三、直线、圆的位置关系

课标要求：

1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

要点精讲:

1．直线与圆的位置关系有三种

（1）若，；

（2）；

（3）。

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；

（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；

（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：

注：直线与圆的位置关系：l ：f₁（x ，y）＝0．圆C ：f₂（x ，y）＝0消y 得F（x₂）＝0。

（1）直线与圆相交：F（x ，y）＝0中D ＞0；或圆心到直线距离d ＜r 。

直线与圆相交的相关问题：

①弦长，或；②弦中点坐标；③弦中点轨迹方程。

（2）直线与圆相切：F（x）＝0中D ＝0，或d ＝r ．其相关问题是切线方程．如P（x₀ ，y₀）是圆x² ＋y² ＝r² 上的点，过P 的切线方程为x₀x ＋y₀y ＝r² ，其二是圆外点P（x₀ ，y₀）向圆到两条切线的切线长为或；其三是P（x₀ ，y₀）为圆x² ＋y² ＝r² 外一点引两条切线，有两个切点A ，B ，过A ，B 的直线方程为x₀x ＋y₀y ＝r² 。

（3）直线与圆相离：F（x）＝0中D ＜0；或d ＜r ；主要是圆上的点到直线距离d 的最大值与最小值，设Q 为圆C ：(x －a) ² ＋(y －b) ² ＝r² 上任一点，|PQ|_max ＝|PC|＋r ；|PQ|_min ＝|PQ|－r ，是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式求最值．

2．两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O₁，O₂，半径分别为r₁，r₂，。

；

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

注：圆与圆的位置关系：依平面几何的圆心距|O₁O₂|与两半径r₁ ，r₂ 的和差关系判定．

（1）设⊙O₁ ：x² ＋y² ＋D₁x ＋E₁y ＋F₁ ＝0，⊙O₂ ：x² ＋y² ＋D₂x ＋E₂y ＋F₂＝0。

①两圆相交A 、B 两点，其公共弦所在直线方程为（D₁ －D₂）x ＋（E₁ －E₂）y ＋F₁ －F₂＝0；

②经过两圆的交点的圆系方程为x² ＋y² ＋D₁x ＋E₁y ＋F₁ ＋l（x² ＋y² ＋D₂x ＋E₂y ＋F₂）＝0（不包括⊙O₂ 方程）。

5．直线与圆的方程的应用

（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（2）过程与方法，用坐标法解决几何问题的步骤（“三步曲”）：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论。

四、空间直角坐标系

课标要求：

1．掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标；会求空间两点间的距离公式；

2．通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；

 3．通过本节的学习，培养学生类比，迁移，化归的能力。

要点精讲:

1．如图：OABC-D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y轴和z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面，yOz平面，zOx平面。

    由此我们知道，确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长.

    上图表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定。用右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明，我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.

2．有序实数组（x,y,z）,在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。

3．空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（x,y,z）来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M（x,y,z）,x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标。

4．空间两点间的距离公式

空间中任意一点到点之间的距离公式

（参考教材：人教版必修2A版）