数列知识点总结    

一、 数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数

(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。

二、数列的分类：

 1、按项数分类：有穷数列 

无穷数列

2、按增减性分类：递增数列——对于任何nN⁺ ，具有>

                 递减数列——对于任何nN⁺ ，具有<

                 摆动数列

                 常数数列

3、按是否有界分类：有界数列——MN⁺ ，使M

                   无界数列——MN⁺ ，总有M

三、数列的表示法

1、解析法（公式法）通项公式或递推公式

2、列表法：

3、图象法:数列可用一群孤立的点表示

四、通项公式

五、数列的前n项和

六、递推公式

七、等差数列与等比数列

八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

1、数列是不是等差数列有以下三种方法：

①

②2()

③(为常数).                                                                  

2、数列是不是等比数列有以下四种方法：

①

②(，)^①

③(为非零常数).

④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.

九、求数列通项公式的方法

1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。

例1、分别写出下面数列{}的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。

（１）１，３，５，７，…，

(２)１,２,１,２,…,

(３)２,２２,２２２,２２２２,…,

2、通项公式法

3、涉及前ｎ项和S_n求通项公式，利用a_n与S_n的基本关系式来求。即

例２、在数列｛a_n｝中，S_n表示其前ｎ项和，且S_n=n²,求通项a_n.

ａ_ｎ＝２ｎ－１(ｎ≥１).

例３、在数列｛ａ_ｎ｝中，Ｓ_ｎ表示其前ｎ项和，且Ｓ_ｎ＝２－３ａ_ｎ,求通项ａ_ｎ.

4、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。

（１）待定系数法。

若题目特征符合递推关系式ａ_１＝Ａ,ａ_ｎ＋１＝Ｂａ_ｎ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。

例４、已知数列｛ａ_ｎ｝满足ａ_１＝４,ａ_ｎ＝３ａ_ｎ－１－２,求通项ａ_ｎ.

（２）逐差相加法。

若题目特征符合递推关系式ａ_１＝Ａ(Ａ为常数)，a_n+1=a_n+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。

例５、在数列{a_n}中，a₁=3,a_n+1=a_n+2ⁿ,求通项a_n.

（3）逐比连乘法。

若题目特征符合递推关系式a₁=A（A为常数）,a_n+1=f(n)·a_n时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。

例6、在数列{a_n}中，a₁=3,a_n+1=a_n·2ⁿ,求通项a_n.

（4）倒数法。

若题目特征符合递推关系式a₁=A,Ba_n+Ca_n+1+Da_n·a_n+1=0

(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。

例7、在数列{a_n}中，已知a₁=1,a_n+1=,求数列的通项a_n.

（5）归纳法。

这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。在前面所有的问题中，只要转化为递推公式，就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到看出规律为止。

例9、在数列{a_n}中，a₁=3,a_n+1=a_n²,求数列的通项公式a_n.

十、求数列的前n项和的方法

1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：  

等比数列求和公式：

[例1] 已知，求的前n项和.

[例2] 设S_n＝1+2+3+…+n，n∈N^*,求的最大值.

2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：………………………①

[例4] 求数列前n项的和.

3、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.

 [例5] 求的值

4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6] 求数列的前n项和：，…

 [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6)

[例9]  求数列的前n项和.

[例10]  在数列{a_n}中，，又，求数列{b_n}的前n项的和.

 [例11] 求证：

6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

[例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

 [例13] 数列{a_n}：，求S₂₀₀₂.

 [例14]  在各项均为正数的等比数列中，若的值.

7、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]  求之和.

 [例16]  已知数列{a_n}：的值.

十一、在等差数列｛｝中,有关S_n 的最值问题

：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

 (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用

十二、 等比数列的前项和公式的常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

1. 已知等差数列的前n项和为Sn，若等于                   （ D　）

A．18       B．36    C．54              D．72

2. 已知为等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则　  （　B　 ）A．　 B．     C．　   D．或

3. 在等差数列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，则此数列的前13项之和为  (  D　 ) 

A．156         B．13        C．12              D．26

4. 已知正项等比数列数列{an}，bn=log _a an, 则数列{bn}是           （ A　  ）

A、等比数列    B、等差数列     C、既是等差数列又是等比数列                    D、以上都不对

5. 数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于                                                    （ B　 ）

A.          B.       C.          D.       

6. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是                 （  B　 ）

A. 42                     B.45                       C. 48             D. 51

7. 一懂n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取   （ D　）Ａ．ｎ　Ｂ．（ｎ—１）    Ｃ．（ｎ＋１）

Ｄ．ｎ为奇数时，ｋ＝（ｎ—１）或ｋ＝（ｎ＋１），ｎ为偶数时ｋ＝ｎ　

8. 设数列是等差数列，，Sn是数列的前n项和，则（ B　  ）

A.S4＜S5　                        B.S4＝S5                    C.S6＜S5　                 D.S6＝S5

9. 等比数列的首项,前项和为若，则公比等于     (  B　 )

                        C.2                    D.－2

10. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S6=36，Sn=324，Sn－6=144（n＞6），则n等于 （  D　）

A．15           B．16                       C．17                  D．18

11. 已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ 　C）

A.                 B.              C.                     D.

12. 已知：，若称使乘积为整数的数n为劣数，则在区间（1，2002）内所有的劣数的和为                    （  A　 ）

A．2026             B．2046      C．1024                    D．1022

13. 在等差数列中，已知a1+a3+a5=18， an-4+an-2+an=108，Sn=420，则n= ___20___.

14. 在等差数列中，公差，且，则（k∈N+，

k≤60）的值为  ________7________ .

15. 已知 则 通项公式____________      .

16. 已知，则;  

17. 若数列前n项和可表示为，则是否可能成为等比数列？若可能，求出a值；若不可能，说明理由．

       因的前n 项和，故=,，

an=2n+a－2n－1－a=2n－1()．要使适合时通项公式，则必有，

此时，  ，

故当a=－1时，数列成等比数列，首项为1，公比为2，时，不是等比数列

   18.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.

【 解】  ∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32,

已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,  得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=,a3=.

由a1=1,a3=，知{an}的公差d=－, ∴S10=10a1+d=－.

由b1=1,b3=,知{bn}的公比q=或q=－,

 19.已知数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列

（1）求证：a2 , a8, a5也成等差数列

   【 解】 （1）S3=3a1, S9=9a1, S6=6a1, 而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差数列……2分

所以q≠1，则由公式

即2q6=1+q3  ∴2q6a1q=a1q+q3a1q , ∴2a8=a2+a5  所以a2, a8, a5成等差数列

（2）判断以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.

由2q6=1+q3=－

要以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是数列{an}中的第k项，

必有ak－a­5=a8－a­2,所以 所以

由k是整数，所以不可能成立，所以a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{an}中的一项.

第二篇：高中数学必修5第二章《数列》精练检测题

高中数学必修5第二章《数列》精练检测题

一、选择题：

1．{a_n}是首项a₁＝1，公差为d＝3的等差数列，如果a_n＝2 005，则序号n等于(     )．

A．667                                B．668                                C．669                                D．670

2．在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁＝3，前三项和为21，则a₃＋a₄＋a₅＝(     )．

A．33                                   B．72                                   C．84                                   D．189

3．如果a₁，a₂，…，a₈为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(     )．

A．a₁a₈＞a₄a₅                            B．a₁a₈＜a₄a₅                   C．a₁＋a₈＜a₄＋a₅         D．a₁a₈＝a₄a₅

4．已知方程(x²－2x＋m)(x²－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

｜m－n｜等于(     )．

A．1                                     B．                                  C．                                  D． 

5．等比数列{a_n}中，a₂＝9，a₅＝243，则{a_n}的前4项和为(     ).

A．81              B．120              C．168              D．192

6．若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是(     )．

A．4 005                             B．4 006                             C．4 007                             D．4 008

7．已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列, 则a₂＝(     )．

A．－4                                B．－6                                C．－8                                D． －10

8．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝(     )．

A．1                                     B．－1                                C．2                                     D．

9．已知数列－1，a₁，a₂，－4成等差数列，－1，b₁，b₂，b₃，－4成等比数列，则的值是(     )．

A．                                  B．－                              C．－或         D．

10．在等差数列{a_n}中，a_n≠0，a_n－1－＋a_n＋1＝0(n≥2)，若S_2n－1＝38，则n＝(     )．

A．38                                   B．20                                   C．10                                   D．9

二、填空题

11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为                     .

12．已知等比数列{a_n}中，

(1)若a₃·a₄·a₅＝8，则a₂·a₃·a₄·a₅·a₆＝                ．

(2)若a₁＋a₂＝324，a₃＋a₄＝36，则a₅＋a₆＝                ．

(3)若S₄＝2，S₈＝6，则a₁₇＋a₁₈＋a₁₉＋a₂₀＝                  .

13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为    ．

14．在等差数列{a_n}中，3(a₃＋a₅)＋2(a₇＋a₁₀＋a₁₃)＝24，则此数列前13项之和为     .

15．在等差数列{a_n}中，a₅＝3，a₆＝－2，则a₄＋a₅＋…＋a₁₀＝              .

16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝         ；当n＞4时，f(n)＝       ．

三、解答题

17．(1)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝3n²－2n，求证数列{a_n}成等差数列.

(2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.

18．设{a_n}是公比为 q 的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{b_n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由．

19．数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3…)．

求证：数列{}是等比数列．

20．已知数列{a_n}是首项为a且公比不等于1的等比数列，S_n为其前n项和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列，求证：12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列.

第二章  数列

参考答案

一、选择题

1．C

解析：由题设，代入通项公式a_n＝a₁＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．

2．C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{a_n}的公比为q(q＞0)，由题意得a₁＋a₂＋a₃＝21，

即a₁(1＋q＋q²)＝21，又a₁＝3，∴1＋q＋q²＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，

∴a₃＋a₄＋a₅＝a₁q²(1＋q＋q²)＝3×2²×7＝84．

3．B．

解析：由a₁＋a₈＝a₄＋a₅，∴排除C．

又a₁·a₈＝a₁(a₁＋7d)＝a₁²＋7a₁d，

∴a₄·a₅＝(a₁＋3d)(a₁＋4d)＝a₁²＋7a₁d ＋12d²＞a₁·a₈．

4．C

解析：

解法1：设a₁＝，a₂＝＋d，a₃＝＋2d，a₄＝＋3d，而方程x²－2x＋m＝0中两根之和为2，x²－2x＋n＝0中两根之和也为2，

∴a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝1＋6d＝4，

∴d＝，a₁＝，a₄＝是一个方程的两个根，a₁＝，a₃＝是另一个方程的两个根．

∴，分别为m或n，

∴｜m－n｜＝，故选C．

解法2：设方程的四个根为x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＋x₂＝x₃＋x₄＝2，x₁·x₂＝m，x₃·x₄＝n．

由等差数列的性质：若g＋s＝p＋q，则a_g＋a_s＝a_p＋a_q，若设x₁为第一项，x₂必为第四项，则x₂＝，于是可得等差数列为，，，，

∴m＝，n＝，

∴｜m－n｜＝．

5．B

解析：∵a₂＝9，a₅＝243，＝q³＝＝27，

      ∴q＝3，a₁q＝9，a₁＝3，

      ∴S₄＝＝＝120．

6．B

解析：

解法1：由a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，知a_{2 003}和a_{2 004}两项中有一正数一负数，又a₁＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a_{2 003}＞a_{2 004}，即a_{2 003}＞0，a_{2 004}＜0.

∴S_{4 006}＝＝＞0，

∴S_{4 007}＝·(a₁＋a_{4 007})＝·2a_{2 004}＜0，

故4 006为S_n＞0的最大自然数. 选B．

解法2：由a₁＞0，a_{2 003}＋a_{2 004}＞0，a_{2 003}·a_{2 004}＜0，同解法1的分析得a_{2 003}＞0，a_{2 004}＜0，

∴S_{2 003}为S_n中的最大值．

∵S_n是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，

∴在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S_n＞0的最大自然数是4 006．

7．B

解析：∵{a_n}是等差数列，∴a₃＝a₁＋4，a₄＝a₁＋6，

又由a₁，a₃，a₄成等比数列，

∴(a₁＋4)²＝a₁(a₁＋6)，解得a₁＝－8，

∴a₂＝－8＋2＝－6．

8．A

解析：∵＝＝＝·＝1，∴选A．

9．A

解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q⁴，

∴d＝－1，q²＝2，

∴＝＝．

10．C

解析：∵{a_n}为等差数列，∴＝a_n－1＋a_n＋1，∴＝2a_n，

又a_n≠0，∴a_n＝2，{a_n}为常数数列，

而a_n＝，即2n－1＝＝19，          

∴n＝10．

二、填空题

11．．

解析：∵f(x)＝，

∴f(1－x)＝＝＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，

∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．

12．（1）32；（2）4；（3）32．

解析：（1）由a₃·a₅＝，得a₄＝2，

∴a₂·a₃·a₄·a₅·a₆＝＝32．

（2），

∴a₅＋a₆＝(a₁＋a₂)q⁴＝4．

（3），

∴a₁₇＋a₁₈＋a₁₉＋a₂₀＝S₄q¹⁶＝32．

13．216．

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为××6＝216．

14．26．

解析：∵a₃＋a₅＝2a₄，a₇＋a₁₃＝2a₁₀，

∴6(a₄＋a₁₀)＝24，a₄＋a₁₀＝4，

∴S₁₃＝＝＝＝26．

15．－49．

解析：∵d＝a₆－a₅＝－5，

∴a₄＋a₅＋…＋a₁₀

＝

＝

＝7(a₅＋2d)

＝－49．

16．5，(n＋1)(n－2)．

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．

由f(3)＝2，

f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，

……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，

相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．

三、解答题

17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：（1）n＝1时，a₁＝S₁＝3－2＝1，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝3n²－2n－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴a_n＝6n－5(n∈N*)．

首项a₁＝1，a_n－a_n－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，

∴数列{a_n}成等差数列且a₁＝1，公差为6．

（2）∵，，成等差数列，

 ∴＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．

 ＋＝＝＝＝＝2·，

∴，，也成等差数列．

18．解：（1）由题设2a₃＝a₁＋a₂，即2a₁q²＝a₁＋a₁q，

∵a₁≠0，∴2q²－q－1＝0，

∴q＝1或－．

（2）若q＝1，则S_n＝2n＋＝．

当n≥2时，S_n－b_n＝S_n－1＝＞0，故S_n＞b_n．

若q＝－，则S_n＝2n＋ (－)＝．

当n≥2时，S_n－b_n＝S_n－1＝，

故对于n∈N₊，当2≤n≤9时，S_n＞b_n；当n＝10时，S_n＝b_n；当n≥11时，S_n＜b_n．

19．证明：∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝S_n，

∴(n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，整理得nS_n＋1＝2(n＋1) S_n，

所以＝．

故{}是以2为公比的等比数列．

20．证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇＝a₁＋3a₄，即4 a₁q⁶＝a₁＋3a₁q³，

        变形得(4q³＋1)(q³－1)＝0，

        ∴q³＝－或q³＝1(舍)．

        由＝＝＝；

        ＝－1＝－1＝1＋q⁶－1＝；

       得＝．

       ∴12S₃，S₆，S₁₂－S₆成等比数列．