关于圆与方程的知识点整理

一、标准方程

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径

①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材例2

②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

条件                                     方程形式

圆心在原点                          

过原点                              

圆心在轴上                        

圆心在轴上                        

圆心在轴上且过原点                

圆心在轴上且过原点                

与轴相切                          

与轴相切                          

与两坐标轴都相切                    

二、一般方程

三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系

点在圆内；点在圆上；点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

 

                                    

                                    

思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）

四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（为圆心到直线的距离）

（1）相离没有公共点

（2）相切只有一个公共点

（3）相交有两个公共点

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.

2.直线与圆相切

（1）知识要点

①基本图形

 

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线与圆相切意味着什么？  （圆心到直线的距离恰好等于半径）

（2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点

i）点在圆外

如定点，圆：，[]

第一步：设切线方程

第二步：通过，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！

ii）点在圆上

1）  若点在圆上，则切线方程为

2）  若点在圆上，则切线方程为：

    由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题

垂径定理及勾股定理——常用

弦长公式：

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.

（3）关于点的个数问题

4.直线与圆相离

五、对称问题

1.若圆，关于直线对称，则实数的值为____.

答案：3（注意：时，，故舍去

变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________.

2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.

变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________.

3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.

六、最值问题

方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程

1.已知实数，满足方程，求：

（1）的最大值和最小值；——看作斜率

（2）的最小值；——截距（线性规划）

（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________.  答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）

七、圆的参数方程

，为参数

，为参数

八、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（为圆心距）

（1）外离            （2）外切

（3）相交    （4）内切

（5）内含

2.两圆公共弦所在直线方程

圆：，圆：，

则为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

若与相切，则表示其中一条公切线方程；    若与相离，则表示连心线的中垂线方程.

3圆系问题

（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）

说明：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

（2）过直线与圆交点的圆系方程为

（3）有关圆系的简单应用

（4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线

九、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.

第二篇：圆与方程知识点

圆与方程知识点

1、圆的标准方程：圆心C(a,b),半径为r

2、圆的一般方程：

表示圆，圆心C（）半径为

表示点（）

不表示任何图形

3、点与圆的关系的判断方法：

（1）圆方程为标准式

点在圆外

点在圆上

点在圆内

（2）圆方程为一般式

点在圆外

点在圆上

点在圆内

4、直线：与圆的位置关系判断方法

（1）求出圆的半径，圆心到直线的距离为

直线与圆相离直线与圆无交点

直线与圆相切直线与圆有一交点

直线与圆相交直线与圆有两交点

（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，

求出判别式

直线与圆相离直线与圆无交点

直线与圆相切直线与圆有一交点

直线与圆相交直线与圆有两交点

5、 圆与圆的位置关系判断方法

   求出圆心距，两圆的半径

圆与圆相离有4条公切线

圆与圆外切有3条公切线

圆与圆相交有2条公切线

圆与圆内切有1条公切线

圆与圆内含有0条公切线

6、过点求圆的切线方程

（1）点在圆上

圆的方程为，切线方程

圆的方程为，切线方程

圆的方程为，切线方程

（2）点在圆外，设直线方程为即

由圆心到直线的距离求出（过圆外一点作圆的切线有2条）

7、圆与圆相交，则公共弦的直线方程为

公共弦长，半径，圆心到弦的距离（弦心距）满足关系式：

8、圆与圆相交，过两圆交点的圆系方程可设为或

9、圆与圆

点M在圆上，点N在圆上，则有

（相交，相切），（相离）

（内含）

10、用坐标法解决几何问题的步骤：

（1）建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标

（2）找等量关系

（3）将平面几何问题转化为代数问题；

（4）化简运算

（5）检验得出结论

11、空间直角坐标系

（1）点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标

（2）有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点

12、点与点的中点坐标为

距离