第四章 圆与方程知识点
1. ★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }
★2、圆的方程
（1）标准方程
，圆心
，半径为r；
点
与圆
的位置关系：
当
>
，点在圆外; 当=，点在圆上
当<，点在圆内;
（2）一般方程
（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （
）
当时，方程表示圆，此时圆心为
，半径为
当
时，表示一个点；
当
时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：
?待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
?直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
，圆
，圆心
到l的距离为
，则有
；
；
（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，
①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；
②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）
(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程
① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；
② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；
③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）
★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度
①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式：
|ＡＢ|＝
|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝
|y1-y2|）求解
★7、已知两圆相交，求公共弦的长度
①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长
②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式：
|ＡＢ|＝|ｘ1-ｘ2| （或者|ＡＢ|＝|y1-y2|）求解
③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
④几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）
★8、圆系与圆系方程
(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
(2) 圆系方程：
（一）.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1) -- （Ⅰ）
①若圆 C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。
②若圆 C1与圆C2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1 、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。
（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切
则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝0
★9、直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论
、
第二篇：高中数学知识点总结_曲线与方程,圆的方程
曲线与方程、圆的方程
1．曲线C的方程为:f(x,y)=0?曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。 依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程(x?y?1)x2?y2?4?0所表示的曲线是： （ ）
A B C D ?x?y?1?022
解析：原方程等价于：?2，或x?y?4； 2
?x?y?4
其中当x?y?1?0需x?y?4有意义，等式才成立，即x?y
2222
?4，此时它表示直
线x?y?1?0上不在圆x2?y2?4内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。 [举例2] 已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。 解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA
是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA、MB的斜率。 设M（x，y），∠MAB=?，则∠MBA=2?，它们是直线
MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方
还是下方有关；以下讨论：
① 若点M在x轴的上方, ??(00,900),y?0, 此时，直线MA的倾角为?，MB的倾角为?-2?，
?tan??kMA?
yx?1
,tan(??2?)?
yx?2
, （2??900）
2?
?
1?
yx?1
2y
2
?tan(??2?)??tan2?,??
yx?2
,
(x?1)
得： x?
2
y
2
3
?1，∵MA?MB,?x?1．
当2??900时, ?=450，?MAB为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述
方程．
②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为x?2y2
3?1(x?1),
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为x?2y2
3?1(x?1)或y?0(?1?x?2)．
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，
则它的方程是
A．（x??y2）·（y??x2）=0
B．（x??y2）·（y??x2）=0
C．（x??y2）·（y??x2）=0
D．（x??y2）·（y??x2）=0
[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足RP·PM=0，2PM+3MQ=0，当点P移动时，求M点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为： A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0?A=B≠0，C=0,且D2+E2-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r?(x0-a)2+(y0-b)2> r2?P在⊙M外；|PM|<r?(x0-a)2+(y0-b)2< r2?P在⊙M内；|PM|=r?(x0-a)2+(y0-b)2= r2?P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。
[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②， 圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D
圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0，y1+y2=-E
由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k使得直线l：kx-y-k+2=0与圆C：x2+2ax+y2-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是： 。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线l对任意的实数k恒过定点 M（1，2），要存在实数k使得直线l与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0
22222变形为：(x+a)+y= a+a-2, M点在⊙C外?(1+a)+4>a+a-2>0，解得：-7<a<-2或a>1.
注：本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。
[巩固2]已知定点M(x0,y0)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1， r2,则r1r2= 。
[迁移] 关于曲线C:x4?y2?1给出下列说法：①关于直线y?0对称；②关于直线x?0对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y?x对称；⑤是封闭图形，面积小于?；⑥是封闭图形，面积大于?；则其中正确说法的序号是
3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d来研究。d=r（r为圆的半径）?直线与圆相切；过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2；过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r。过⊙A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=PA|2?r2。d<r?直线与圆相交，弦长|AB|=2r?d222;过直线Ax+By+C=0与圆：x2?y2?Dx?Ey?F=0的交点的圆系方程：x2?y2?Dx?Ey?F+?（Ax+By+C）=0 。d>r?直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d-r，最大值为d+r。
[举例1] 从直线x-y+3=0上的点向圆(x?2)2?(y?2)2?1引切线，则切线长的最小值是 32
22324322A. B. C. D. -1
解析：圆(x?2)2?(y?2)2?1的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=|PA|2?1，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最
32
22小值即A到直线x-y+3=0的距离，为，此时|PQ|=，选B。
[举例2] 能够使得圆x?y?2x?4y?1?0上恰有两个点到直线2x?y?c?0距离等于1的c的一个值为：A．2
C．3 D
．解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径r=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线l：2x?y?c?0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离
|c|
522等于1，由d=∈（1，3）得：c?(?35,?5)?(5,35)，选C。
[巩固1] 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2－2x=0相切，则a的值为 （ ）
（A）1，－1 （B）2，－2 （C）1 （D）－1
[巩固2]直线l1：y=kx+1与圆C：x+y+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线l2：x+y=0对称，则CA?CB= 。 22
[迁移]实数x,y满足x2?y2?2x?2y?1?0,则 A．[,??)
34
y?4x?2
的取值范围为
43]
（ ）
43,0)
B．[0,]
3
4
C．(??,?D．[?
4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为r1、r2， |MN|>r1+r2?外离，|MN|=r1+r2?外切，|r1-r2|<|MN|<r1+r2?相交，此时，若⊙M： ⊙N：x?y?D2x?E2y?F2?0，过两圆交点的圆（系）x?y?D1x?E1y?F1?0，
的方程为：x2?y2?D1x?E1y?F1+?（x2?y2?D2x?E2y?F2）=0（⊙N除外）。 特别地：当?= -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|r1-r2|?内切，|MN|<|r1-r2|?内含。
[举例1]已知两圆O1：x+y=16，O2：(x-1)+(y+2)=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则
O1分有向线段MO2所成的比λ= （ ） A．
65
2
2
2
2
2
2
2
2
B．
56
C．-
65
65
D．-，?
56
），有定比分点
解析：直线O1 O2：y= -2x，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M（坐标公式不难得到λ的值，选C。
125
[举例2] 若A?{(x,y)|x2?y2?16},B?{(x,y)|x2?(y?2)2?a?1}且A?B?B, 则a的取值范围是
（ ）
A．a?1 B．a?5 C．1?a?5 D．a?5 解析：集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩B=B?B?A，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和a?1，于是有：2≤4-a?1,解得：1?a?5，选C。
[巩固1]圆心在直线x?y?4?0上,且经过两圆x2?y2?4x?3?0,x2?y2?4y?3?0的交点的圆的方程为
2
2
2
2
（ ）
A．x?y?6x?2y?3?0
C．x?y?6x?2y?3?0
2
2
B．x?y?6x?2y?3?0 D．x?y?6x?2y?3?0
2
2
[巩固2]若圆(x－a)2+(y－b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是
A.a2+b2－2a－2b+1=0 C.a2+b2－2a+2b+1=0
B.a2+b2+2a+2b+1=0 D.a2+b2+2a－2b+1=0
[迁移]与圆x2+y2?2x=0外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 。
5.圆的参数方程的本质是sin2?+ cos2?=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。
[举例]已知圆x2?(y?1)2?1上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m?0成立，则m的取值范围是：A .[2?1,??) B ???,0? C (2,??) D [1? 2,??) （ ）解析：不等式x+y+m?0恒成立?m? -（x+y）恒成立，以下求-（x+y）的最大值： 记x= cos?、y=1+ sin?，-（x+y）= -( cos?+1+ sin?)= -1-2sin(?+
sin?
2?cos??4)≤-1+2,选A。 [巩固1] f(?)?的最大值为。
a
b34[巩固2]在⊿ABC中，已知
+PC的最大值为 2cosBcosA??，c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2
[迁移]动点P，Q坐标分别为p?cos?，sin??，Q?3?sin?，?1?cos??，（?是参数），则|PQ|的最大值与最小值的和为 ．
2 答案 1．[巩固1] D,[巩固2]y=4x (x>0),[迁移]在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。
2、[巩固1] (x-1)2+(y+1)2= 5，[巩固2]∵点M在第一象限，∴过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为：(x-r)2+(y-r)2= r2 , ∵圆过M(x0,y0)点，∴(x0-r)2+(y0-r)2= r2，整理得： r2-2(x0+y0)r+ x02+y02=0,由题意知r1，r2为该方程的两根，故r1r2= x02+y02。[迁移]在曲线C
上任取一点M(x0,y0)，x04+y02=1, ∵|x0|≤1, ∴x04≤x02, ∴x02+y02 ≥x04+y02=1,即点M在圆 x2+y2=1外，选①②③⑥；3、[巩固1]D，[巩固2]-1，[迁移]A；4、[巩固1]A，[巩固2] 圆x2+y2+2x+2y－3=0的圆心A（-1，-1），半径为5，⊙M始终平分⊙A的周长即
两圆的公共弦是⊙A的直径，A在直线：2(a+1)+2(b+1)y-(a2+b2)+3=0上，将a点坐标代入即得，选B；[迁移] y?4x(x?0)和y?0(x?0)，5、[巩固1]1，[巩固2]易知⊿ABC为直角三角形，a=6,b=8,c=10,则内切圆半径r=2，以C为原点建系，设P(2cos?,2sin?), PA2+PB2+PC2=80-8sin?,最大值为88，[迁移] |PQ|的最大、最小值分别为?2，和为22，注：题中参数?是同一个，因此点P，Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任意点．因此借助图形去直观地求解很容易出错。