数学要点难点归纳
第一章 有理数
1.1正数和负数
一、定义
１．大于0的数叫做正数。
２．在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。
说明：
⑴０既不是正数，也不是负数，０是正数和负数的分界，０的意义已不仅是表示“没有”。
⑵一个数前面的“＋”与“－”叫做它的符号。
⑶判断一个数是不是负数，要看是不是在正数的前面加上“－”号，而不能看它是否带有“－”号。
⑷有时根据需要，在正数前面也加上“＋”（正号），在一般情况下，正数前面的“＋”号省略不写，本书绝大多数的地方，正数都不带正号。
⑸用正负数描述指定方向变化的情况：
①向指定方向变化用正数表示；
②向指定方向的相反方向变化用负数表示。
二、相反意义的量
相反意义的量的要素：⑴表示的意义相反；⑵都具有数量。
1.2有理数
一、有理数
１．定义
整数和分数统称有理数。
说明：
⑴正整数、0、负整数统称为整数。
⑵有理数可以写成
（m,n是整数，n≠０）的形式；
形如（m,n是整数，n≠０）的数是有理数；
故有理数可以用（m,n是整数，n≠０）表示。
（分析如下：
①正整数、0、正分数可以写成（m是正整数或０，n是正整数）的形式；
②负整数、负分数可以写成－（m，n是正整数）的形式；
③学习负数的除法后，可以知道有理数可以写成（m，n是整数，n≠０）的形式；
⑶到目前为止，学过的数（除π外）都是有理数。
２．分类
整数：正整数、０、负整数
按整数、分数（定义）分类
分数：正分数、负分数
有理数
正有理数：正整数、正分数
按正、负性（符号）分类 0
负有理数：负整数、负分数
二、数轴
1．定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
说明：
⑴数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可；
⑵数轴是直线，可以向两端无限延伸；
⑶定义中“规定”是说原点的选取、正方向规定、单位长度大小的确定，都是根据需要规定的。
2．画法
⑴画：画一条直线；
说明：
为了读画方便，通常把直线画成水平或竖直，一般画成水平；
⑵标:在直线上适当选取一点为原点，并标上数字０；
说明：
原点是“任取”一点，通常取适中的位置，如所需的数都是正数，也可以偏向左边；
⑶定:确定正方向；
说明：
通常规定直线上原点向右（或上）为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画线部分的最右端），不要画成射线或线段。（当然数轴的方向是可以任取的）
⑷统一:统一单位长度根据需要，选取适当的长度为单位长度，并标上刻度，最后标上数字。
说明：
单位长度的大小要根据实际需要选取，因此加“适当”二字，要表示绝对值大的数，单位长度可以取小些。
（画法不一定按上面顺序，如⑵⑶可以调换）
3．数轴上的点与有理数之间的关系
⑴任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示，但反过来，数轴上任意一点，却并不一定表示一个有理数，因为数轴上除了表示有理数的点外，还有表示无理数的点。
⑵是数形的初步结合。
４．此时引入数轴，后续应用数轴理解数学知识，更加直观，正所谓数学家华罗庚所言：“数形结合百般好，割裂分家万事休”。
三、相反数
1．定义：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
说明：
⑴“只有”二字理解：两个数只有符号不同，其它相同。
⑵特别地，0的相反数是0。
2．几何意义：在数轴上位于原点两侧并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。
说明:
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
3．表示与求法
⑴一般地， a的相反数可表示为-a，特别的０的相反数仍是０。
说明：０是唯一一个相反数等于本身的数，即，如果a=－a,那么a一定是0。
⑵求一个数的相反数，只要在它前面添上“－”号即可求。
四、绝对值
1．定义：
一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记做︱a︱，读做a的绝对值。
2．重要性质
非负性，即︱a︱≥０。
3．求法
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0。即
a （a＞０）
︱a︱= 0 （a＝０）
－a （a＜０）
说明：
⑴0是绝对值最小的有理数；
⑵互为相反数的两个数的绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。
五、有理数大小的比较
1．利用数轴比较大小（直观但麻烦）
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2．利用法则比较大小（比较方便）
⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。
即：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。
说明：
⑴法则是根据数轴比较得出，有了法则就可以不必通过数轴，直接用绝对值比较；
⑵法则要结合图形理解，不要死记硬背。例如：两个负数在数轴上，绝对值大的在左边，这就容易记住绝对值大的负数反而小的结论。
1.3有理数的加减法
一、有理数加法
1．加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0；
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
说明：
如果两个数的和为０，那么这两个数互为相反数．
2．加法运算律
⑴加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a+b=b+a
⑵加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后面两个数相加，和不变。即 (a+b)+c= a + (b +c)
说明:
⑴根据加法交换律和加法结合律可以得出:多个有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以先把其中的几个加数相加。（上述简化计算技巧源于此）
⑵加法交换律和加法结合律对两个以上或三个以上的有理数仍然适用。
3．简化计算技巧：
⑴把符号相同的加数先相加。
⑵把分母相同的加数先相加。
⑶相加得0的加数先相加。
⑷相加得整数的加数先相加。
三、有理数减法
１．法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a－b=b+（－a）
２．运算步骤：
⑴将减法变加法（要“两变”，即一是减号变加号，二是把减数变为它的相反数）。
⑵按有理数的加法法则和加法运算律计算。
四、有理数加减混合运算
１．步骤和方法
⑴运用减法法则，将加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号；
⑵运用加法法则、运用加法交换律、加法结合律、有理数加法的计算技巧，使运算简便。
说明：
⑴将有理数的加减混合运算中减法转化为加法后，为书写简单，可省略式中的加号和括号，看成是这些正数与负数之和；
⑵省略加号和括号的方法
①先统一成加号，再省略加号和括号；
②利用符号化简直接写出。
1.4有理数的乘除法
一、有理数乘法
１．法则
⑴两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
⑵任何数同０相乘，都得０。
说明：
有理数乘法的运算步骤：⑴确定积的符号；⑵确定积的绝对值，计算结果。
２．倒数的定义
乘积是１的两个数互为倒数。
说明：⑴当a≠0时，a与
互为倒数。
当m≠0，n≠０时， 
与
互为倒数。
⑵０没有倒数。
⑶－１的倒数等于－１，０～－１之间的数的倒数比本身小，小于－１的数的倒数比本身大．
３．乘法运算律
⑴乘法交换律：两个数相乘，交换因素的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即（ab）c=a(bc)
⑶分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即a(b+c)=ab+ac
二、有理数除法
１．法则
除以一个不等于０的数，等于乘这个数的倒数。即 a÷b=a·
(b≠0)
由上可以得出：
⑴两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
⑵０除以任何一个不等于０的数，都得０
三、有理数乘除混合运算
１．运用除法法则把除法化成乘法；
２．确定积的符号，求出结果。
四、有理数加减、乘除混合运算
１．无括号的，先乘除，后加减
２．有括号的，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依此进行。
1.5有理数的乘方
一、有理数乘方的意义
１．求几个相同因素的积的运算，叫做乘方。
一般地a·a·…·a记作a
，读作a的次n方。当a看作a的次n方的结果时，也可以读作a
n个a
的n次幂。
２．乘方的结果叫作幂，在a中，a叫做底数，n叫做指数。
二、有理数乘方运算
１．a是n个a相乘，所以可利用有理数的乘法运算进行有理数的乘方运算。
２．有理数乘方运算的性质
根据有理数的乘法法则得出：
⑴负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
⑵正数的任何次幂都是正数：
⑶０的任何次幂都是０。
三、有理数的混合运算
１．顺序：⑴先乘方，再乘除，最后加减。
⑵同级运算，从左到右进行。
⑶如有括号，先做括号内运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
２．灵活使用运算律，是运算准确而快捷。
四、科学计数法
把一个大于10的数写成a×10的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数）。
即科学计数法形式为a×10，其中1≤∣a∣＜10，n为正整数，且n为这个数的整数位树减１。
五、近似数
１．近似数，就是与实际接近的数。
２．精确度，就是近似数与准确数的接近程度。
六、有效数字
从左边第一个非０的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
第二章 整式的加减
2.1整式
一、单项式
1．单项式的定义
2．单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
说明：
⑴单项式的系数包括它前面的符号；
⑵当一个单项式只含有字母因数时，系数为1或-1；
⑶系数为带分数时，通常写成假分数；
⑷圆周率π是常数，单项式中出现π时，应将其看作系数。
3．单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
说明：
⑴确定一个单项式的次数时，不把系数的指数当做字母的指数；
⑵确定一个单项式的次数时，不要漏掉指数为1的字母；
⑶单独一个数字的指数是0。
4．用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。
二、多项式
1．多项式的定义
几个单项式的和叫做多项式。
2．多项式的项
多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。
说明：
⑴多项式的项包括它前面的正负号；
⑵判断一个式子是不是多项式，关键是看式子能不能写成单项式的和的形式。
3．多项式的次数
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
说明：
⑴多项式的次数取决于多项式中次数最高项的次数；
⑵多项式的次数最高项不一定只有一项，有可能有多项。
三、整式
1．整式的定义
单项式和多项式统称为整式。
2.2整式的加减
一、同类项
1．同类项的定义
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
说明:
⑴判断同类项的标准:A．所含字母相同；Ｂ．同一字母的指数也相同。这其中的二个“相同”缺一不可。
⑵同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。（系数不为０的前提下）
⑶同类项不一定是２项，也可以是３项，４项目项，…，但至少是２项。
2．合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
说明:
⑴合并同类项的步骤：Ａ．找同类项；Ｂ．和并同类项；Ｃ．写出结果。
⑵合并同类项，同类项移动位置时，不要漏掉它的性质符号；
⑶如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果是０。
3．合并同类项的法则
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.
说明：
⑴合并同类项时是运用了加法交换律、加法结合律、乘法分配律把多项式中的同类项合并时总结出该法则的；主要是依据乘法分配律。
⑵通常把一个多项式各项按某个字母的指数降幂或升幂顺序排列。
二．去括号法则
１．如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
２．如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
说明：
⑴去括号法则依据是乘法分配律；
⑵去括号法则简说为“加不变，减全变”；
⑶去括号时，要连同括号前面的符号一同去掉；
⑷该变号时，各项都变号；不该变号时，各项都不变号；
⑸括号前面有数字因数时，应利用乘法分配律，先将该数与括号内各项分别相乘再去括号，避免出现漏乘的情况。
三．整式的加减
１．运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项目。
说明：
⑴整式的加减实质上是去括号和合并同类项；
⑵整式加减的最后结果:
①不能含有同类项，即要合并到不能合并为止；
②合并同类项后，若其系数是带分数，要把它化成假分数。
《整式的加减》练习题
班别 姓名 学号 成绩_______
一、选择题
1、用代数式表示a与-5的差的2倍是( )
A、a-(-5)×2 B、a+(-5)×2 C、2(a-5） D、2(a+5）
2、用字母表示有理数的减法法则是（ ）
A、a-b=a+b B、a-b=a+(-b) C、a-b=-a+b D、a-b=a-(-b)
3、某班共有学生x人，其中女生人数占35％，那么男生人数是（ ）
A、35％x B、(1－35％)x C、
D、
4、若代数式
与代数式 
是同类项，则 
的值是（ ）
A、9 B、
C、4 D、
5、把-x-x合并同类项得（ ）
A、0 B、-2 C、-2x D、-2x2
6、一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是（ ）
A、yx B、y+x C、10y+x D、10x+y
7、如果代数式
的值为7，那么代数式
的值等于（ ）
A、2 B、3 C、
D、4
8、下面的式子，正确的是（ ）
A、3a2+5a2=8a4 B、5a2b-6ab2=-ab2
C、6xy-9yx=-3xy D、2x+3y=5xy
9、一个多项式加上x2y-3xy2得2x2y-xy2，则这个多项式是（ ）
A、3x2y-4xy2； B、x2y-4xy2； C、x2y+2xy2； D、-x2y-2xy2
10、若A=x2－5x＋2，B=x2－5x-6，则A与B的大小关系是（ ）
（A）A>B （B）A=B （C）A<B （D）无法确定
二、填空题
11、单项式
的系数是______，次数是______；
12、
是 次 项式，它的项分别是 ，
其中常数项是 ；
13、为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度电价按a元收费；如果超过100度，那么超过部分每度电价按b元收费。某户居民在一个月内用电160度，他这个月应缴纳电费是
元；（用含a、b的代数式表示）
14、三个连续偶数中，2n是最小的一个，这三个数的和为______ _；
15、如图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”
，则搭
条“金鱼”需要火柴 根．
16、根据如图所示的程序计算，
若输入x的值为1，则输出y的值为
；
三、解答题：
17、化简(1) 7-3x-4x2+4x-8x2-15 (2) 2(2a2-9b)-3(－4a2+b)
(3) 8x2-[-3x-(2x2-7x-5)+3]+4x
18、先化简，后求值；
（1）(5x-3y-2xy)-(6x+5y-2xy)，其中
，
（2）若
，求3a2b－[2ab2－2（ab－1.5a2b）+ab]+3ab2的值；
19、有这样一道题，计算
的值，其中
x=0.25，y=-1；甲同学把“x=0.25”，错抄成“x=-0.25”,但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？
20、“十一”黄金周期间，某风景区在7天中来旅游的人数变化如下表:（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数。）
（1）若9月30日来旅游人数记为a万人，请用a的代数式表示10月2日来旅游的人数。
（2）请判断七天内来旅游的人数最多是哪一天？最少是哪一天？它们相差多少万人？
（3）统计来旅游的人数，最多的一天是3万人，问9月30日来旅游的人数有多少人？
答案：
一、1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 6、C 7、A 8、C 9、C 10、A
二、11、
6 12、二、 三、
、
、
、
13、100a+60b 14、6ｎ+6 15、6ｎ+2 16、4
三、17、(1) -12x2+x-8 (2) 16a2-21b (3) 10x2-8
18、（1）-x-8y=13 （2）ab2+ab=12
19、2y3
20、（1）a+2.4
（2）10月3日来的人数最多，10月7日来的人数最少，
相差 （a+2.8）-（a+0.6）=2.2（万人）
（3）a+2.8=3 a=0.2
9月30日来旅游的人数有0.2万人；