有理数
一、学习目标：
l 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类；
l 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算；
l 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算；
l 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。
二、重点难点：
l 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算；
l 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运算。
三、学习策略：
l 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达到内容系统化和应用的灵活性。
四、知识框架：
五、知识梳理
1、知识点一：有理数的概念
（一）有理数：
（1）整数与分数统称__________________
按定义分类：
按符号分类：
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________.
（2）认识正数与负数：
①正数：像1，1.1，
，2008等大于_______________的数，叫做_______________.
②负数：像-1，-1.1，-，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________.
（3）用正数、负数表示相反意义的量：
如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米； 若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+
表示零上，-则表示____________ .
（4）有理数“0”的作用：
（二）数轴
（1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线
注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可.
②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的 ，后者指所取度量单位的 ，即 是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段 ，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
（2）数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的______________；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________：
③确定向右的方向为______________，用______________表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的 要一致.
⑤数轴画法的常见错误举例：
（3）有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的 表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数 ，正数都大于 ，负数都小于 ，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都是有理数，如
.
（三）相反数
（1）相反数：只有 的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是；若
，则
，反之亦然 .
（2）相反数的性质：
①代数意义：只有 的两个数叫做互为相反数，特别地，O的相反数是0．相反数必须
出现，不能单独存在．例如+5和 互为相反数，或者说+5是 的相反数，－5是 的相反数，而单独的一个数不能说是 ．另外，定义中的“只有”指除 以外，两个数 ，注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数，而+3与－2虽然 不同，但它们不是相反数．
②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于 两侧，并且到原点的________相等．这两点是关于_____ 对称的．
③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可．一般地，数a的相反数是 ；这里以a表示任意一个数，可以为 、 、负数，也可以是任意一个代数式．注意－a不一定是 ．
注意：当a＞0时，－a 0(正数的相反数是 数)；
当a=0时，－a O(0的相反数是 )；
当a＜0时，
a O (负数的相反数是 )．
④互为相反数的两个数的和为 ，即若a与b互为 ，则a+b=0，反之，若a+b=O，则a与b互为 ．
⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部 ；一个正数前面有
个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有 个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，即“ 负 正”（其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的 ，“负正”是指化简的最后结果的 .
（四）绝对值
（1）绝对值的代数意义及几何意义
① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 .
② 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 与_______的距离.数a的绝对值记作 .
注意：
①取绝对值也是一种 ，这个 符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质
绝对值符号.
②绝对值具有 性，取绝对值的结果总是 .
③任何一个有理数都是由 部分组成： 和它的 ，如：－5，符号是 ，绝对值是 .
（2）字母a的绝对值的分类
或
或
（3）利用绝对值比较两个负有理数的大小
规则：两个负数，绝对值大的反而 .
步骤：①计算两个负数的 .
②比较这两个 的大小.
③写出正确的判断结果.
④如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为 .
例如：若
2、知识点二：有理数运算
（一）有理数比较大小
（1）数轴上的数，右边的数总 左边的数．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数，绝对值大的反而 ；
（4）两数比较大小，可按符号情况分类：
（二）有理数的加减法
（1）有理数加法法则
①同号两数相加，取相同的 ，并把绝对值 .
②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的 减去较小的 .
③一个数同0相加，仍得 .
（2）有理数加法的运算步骤
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的 ；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的 .
（3）有理数加法的运算律
①两个加数相加，交换加数的位置， 不变.即a+b=b+a(加法 律)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法 律）
（4）有理数加法的运算技巧
①分数与小数均有时，应先化为 形式.
②带分数可分为 与 两部分参与运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合 得
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合 .
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥ 相同的数可以先结合在一起.
（5）有理数减法法则
减去一个数，等于 ，即a-b=a+( )
（6）有理数减法的运算步骤
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.
（7）有理数加减混合运算的步骤
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：
根据有理数减法法则，减去一个数等于加上 ，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有 的运算，即变为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：
（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。
（三）有理数的乘除法
（1）有理数乘法法则
两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘.任何数同 相乘，都得0.
（2）有理数乘法的运算律
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即ab= （乘法结合律）
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
即 abc= （乘法结合律）
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 a(b+c)=
（乘法分配律）
（3）有理数乘法法则的推广
①几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定，当 的个数是偶数时，积为 ；
的个数是奇数时，积为 .
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为 .
在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为 ，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为 ，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
（4）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 。即a÷b=a· (b≠0)
两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ， 除以任何一个不等于0的数，都得0.
（5）倒数及有理数除法
①乘积为 的两个数互为倒数。
倒数是 出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定 ；
没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母 即可（正整数可以看作分母为1的分数）。
注意： 
互为倒数，则
；互为负倒数，则
。反之亦然.
②有理数除法的运算步骤：首先确定商的 ，然后再求出商的绝对值.
（四）有理数的乘方
（1）概念：求
个相同因数的积的运算，叫做 ， 的结果叫做 ，在
中，
叫做 ，叫做 .
（2）含义： 中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有 相乘.例如：
表示3×3×3×3×3，(-3)
表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号. 如(-2)
表示 相乘，而-2则表示7个2相乘的积的 。
当n为奇数时，(-a)
= ；而当n为偶数时，(-a)= .
注意： 负数的奇次幂是 ，负数的 幂是正数。
正数的任何次幂都是 ，0的任何次幂都是 ，任何不为0的数的0次幂都是 .
（3）“奇负偶正”口诀的应用
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]= ，－[+（－3）]= .
②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）= ，而（－3）×（－2）×6= .
③有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为 ；指数为偶数，则幂为 ，例如：（－3）
= ，（－3）
= .
（4）有理数混合运算的运算顺序：
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算
级运算，然后 级，最后 级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，应先算___括号里的，再算 括号里的，最后算 括号里的. 以上运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”.
（五）近似数、有效数字和科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数表示成 的形式（其中
，是整数），此种记数法叫做科学记数法.例如：200000=
就是科学记数法表示数的形式. 又如：10200000=
也是.
（2）有效数字：从一个数的左边第一个 数字起，到 止，所有数字都是这个数的 。
如：0.00027有 个有效数字：_____________;1.2027有 个有效数字： .
注意：万= ，亿=
六、经典例题
1、类型一：正数与负数的意义
例1．一个物体沿着东西两个相反方向运动，如果把向东的方向规定为正，那么走6km，走-4.5km，走0km的意义各是什么？
思路点拨： 正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向东运动，则负数表示 运动 .0表示原地不动，0表示正数与 的分界，在实际问题中也有确定的意义.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?
解析：
☆【变式2】某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？
解析：
2、类型二：有理数的分类
例2．把下列各数填入相应的括号内：+6，0.35，
，-1，-7.82，0，97，
.
整数集合：｛ …｝；
非负集合：｛ …｝；
分数集合：｛ …｝；
负数集合：｛ …｝.
思路点拨：根据有理数的分类标准，将所给数进行分类．填整数集合时，不能漏掉“ ”；填集合时，最后要加“…”，“非负数”不要仅理解为正数， 既不是正数，也不是负数，属于“非负”范围内的数；负数包括 和 .
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】（1）最小的正整数是 ：最大的负整数是 ；最小的整数是 ；最小的正数是 ；最大的负数是 ；最小的有理数 ；绝对值最小的有理数是 。
（2）一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ；一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是 ；一个数的倒数等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方等于它的绝对值，这个数是 ；一个数的平方等于它的相反数，这个数是 ；一个数的立方等于它本身，这个数是 。
解析：
3、类型三：多重符号的化简
例3、化简下列各数：
思路点拨：多重符号的化简是由“ ”的个数来定，若“-”个数是 个时，化简结果为正；若 “-”个数是奇数个时，化简结果为 。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】
【变式2】说出下列各式的意义，然后化简：
(1)-[-(-3)] (2)+{-[-(+5)]}；
(3)-{-{-…-(-6)}}（共n个负号）．
4、类型四：有理数的大小比较
例4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ <”连接起来；
思路点拨：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“ <”连接起来.
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式】利用绝对值比较下列有理数的大小 .
（1）-0.6，-60 （2）
思路点拨：比较负数的大小，先求出各数的 ，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而 ，比较分数大小，一般要化成同 的分数来比较.
解析
5、类型五：绝对值的概念
例5．若
+|2b+5|=0,计算2a-b的值.
思路点拨：从表面看条件比较复杂，但根据绝对值的非负性，可求出a,b值。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】若
，化简：
解析：
【变式2】代数式
的最小值为 。
解析：
【变式3】a，b在数轴上的位置如图
（1）化简：
。
（2）比较大小：
；
。
解析：
5、类型六：相反数，倒数的概念
☆例6．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，
且
，那么
的值为 。
思路点拨：根据相反数与倒数的意义可得：互为相反数的两数的和为 ，互为倒数的两数之积为 .
解析：
总结升华：
举一反三：
☆☆【变式】已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，
，b的形式，且x的绝对值为2，
求
的值
解析：
7、类型七：有理数的混合运算
例7、计算
思路点拨：本题有五种运算， ．因为有括号，应先算括号里面的，括号里面显然又要先算________，接着算_________法，再算_______法．注意除法运算，要把除法转化为__________．
解：
总结升华：
举一反三：
【变式】计算下列各式的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
解析：
8、类型八：科学计数法，有效数字与近似数
例8．某市20##年的国民生产总值约为333.9亿元，预计20##年比上一年增长10%，则20##年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字） 元。
解析：
总结升华：
举一反三：
【变式1】国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81.2亿立方米，81.2亿这个数用科学记数法表示为 立方米。
答案：
【变式2】
精确到万位为： ,有效数字为： .
答案：
9、类型九：规律探索
例9．观察下列式子：
请你将猜想到的规律用自然数n表示出来
思路点拨：发现已给出的几个式子的规律：等号左边是 ，右边是 . 本题考查的知识点是有理数的乘方运算能力及归纳的思想方法。
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】观察下列等式：9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
……
这些等式反映自然数间的某种规律，设
表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 ．
解析：
【变式2】（1）在一列数：2，
，
，
，
…中，第n个数（n为正整数）是 。
（2）观察一列有规律的数2，4，8，16，32，…，它的第2009个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
【变式3】观察下列各式：
……
猜想：
。
答案：
【变式4】小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据是8时，输出的数据是 ；当输入数据是n（n是正整数）时，输出的数据是 。
解析：
【变式5】观察：
，
，
将以上三个等式两边分别相加得：
。
①猜想并写出：
。
②直接写出下列各式的计算结果：
。
。
③探究计算：
。
答案：