正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:
零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如:
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8?也是偶数,-1,-3,-5?也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数
整数正有理数正分数
有理数有理数(0不能忽视) 负整数
分数负有理数负分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应
点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。 说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。) ②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; ⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
⑴当b>0时,a+b>a ⑵当b<0时,a+b<a ⑶当b=0时,a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)
=-49+41 (运用加法法则一进行运算)
=-8 (运用加法法则二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法)
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合)
=4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)
=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) 313217-+-+- 524528
321137原式=(--)+(-+)+(+-) 552248
1=-1+0- 8
1=-1 8-
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) 312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 84834
13121=+3-3+10-1 84834
31112=(3-1)+(-3)+10 44883
12=2-3+10 23
1=-3+13 6
1=10 6 (+0.125)-(-3
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
1617+10-12+4 5112215
1761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5151122
411=-1++ 1522
815=-1++ 3030
7- 30-3
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9?+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+?+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ.先拆项后结合
(1+3+5+7?+99)-(2+4+6+8?+100)
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数; 法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·
说a和1=1(a≠0),就是a111互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。 aaa
注意:①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 a 中,a 叫做底数,n 叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
n
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成 a?10的形式(其中1?a?10, n是正整数),这种记数法是科学记数法。
n
第二篇:初一数学第一章有理数知识点总结
『例题精讲』
【例1】计算下列各题:
(1) (2)[(-22)+(-27)]+(+27);
(3)
【例2】绝对值不大于10的所有整数的和等于( )
A.-10 B.0 C.10 D.20
【例3】已知a,b,c的位置如图,化简:|a-b|+|b+c|+|c-a|=______________
【例4】 (1) (2)
【例5】对于任何有理数a,下列各式中一定为负数的是( )
A. B. C. D.
【例6】a,b在数轴上的位置如图所示,则a,b,a+b,a-b中,负数的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例7】两个数的差是负数,则这两个数一定是( )
A.被减数是正数,减数是负数 B.被减数是负数,减数是正数
C.被减数是负数,减数也是负数 D.被减数比减数小
【例8】如果a,b均为有理数,且b<0,则a,a-b,a+b的大小关系是( )
A.a<a+b<a-b B.a<a-b<a+b C.a+b<a<a-b D.a-b<a+b<a
【例9】 (1) (2)
【例10】若两个有理数的和与积都是正数,则这两个有理数( )
A.都是负数 B.一正一负且正数的绝对值大 C.都是正数 D.无法确定
【例11】 ..为非零有理数,它们的积必为正数的是( )
A.,.同号 B.,.异号
C.,.异号 D...同号
【例12】 已知|x|=3,|y|=2,且x•y<0,则x+y的值等于( )
A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1
【例13】计算:(1) (2)
【例14】两个有理数的商为正,则( )
A.和为正 B.和为负 C.至少一个为正 D.积为正数
【例15】用“>”或“<”填空
(1)如果,那么 _____ 0 ;
(2)如果,那么_______0 .
【例16】计算:(1) (2)
【例17】 计算:
1. 『当堂检测』式子-2-(-1)+3-(+2)省略括号后的形式是( )
A.2+1-3+2 B.-2+1+3-2 C.2-1+3-2 D.2-1-3-2
2. 计算之值为何( )
A.-1.1 B.-1.8 C.-3.2 D.-3.9
3. 下列判断:①若ab=0,则a=0或b=0;②若,则a=b;③若,则;④若,则是正数.其中正确的有( )
A.①④ B.①②③ C.① D.②③
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列算式中:(1)0-(-3)=-3;(2)(-2)×|-3|=-6;(3)5÷ ×5=5;(4)23=6,正确的个数有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.已知|x|=0.19,|y|=0.99,且,则x-y的值为( )
A.1.18或-1.18 B.0.8或-1.18 C.0.8或-0.8 D.1.18或-0.8
7.计算:-2-(-3)+(-8)+42= ______;
(2)计算:(×(-42)= ________.
8.若a.b.c在数轴上位置如图所示,则必有( )
A.abc>0 B.ab-ac>0 C.(a+b)c>0 D.(a-c)b>0
9.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则在a+b,a-b,ab,,s这五个数中,正数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10. 定义a※b=,则(1※2)※3=_________
11(1)
(2)(-)×(-)-×(-)+×(-)
12 比较的大小,结果正确的是( )
A. B.
C. D.
『直击中考』
1.下列运算中,正确的是
A.a+a=a2 B.aa2=a2
C.(2a)2=2a2 D.a+2a=3a
2.法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的,后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例.若用法国的“小九九”计算7×9,左、右手依次伸出手指的个数是
A.2,3 B.3,3 C.2,4 D.3,4
3.的倒数是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果是( )
A. B. C. D.
5.等于( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
6.比较大小:-6 -8.(填“<”、“=”或“>”)
7.计算3×(2) 的结果是
A.5 B.5 C.6 D.6
8.计算30的结果是
A.3 B.30 C.1 D.0
9.下列各数中,为负数的是( )
A.0 B.-2 C.1 D.
10.计算题:|-5|-(-3)0+6×( - )+(-1)2.