第二章： 有理数
1.1 正数与负数
    在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.
    与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.

【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）

        2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.

        3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.

4.0既不是正数，也不是负数.

        5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少……例如：向东走2米，记作：+2米；那么向西走3米，记作—3米.

6.用正负数表示加工允许误差  例如：①图纸上注明一个零件的直径是mm，表示零件的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存在的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.

1.2 有理数

1.2.1有理数

有理数的概念：整数和分数统称有理数.

分类：（1）按定义分类：                 （2）按性质符号分类：

                 

（掌握分类方法应注意两点：①不重复：即同一事物不能归纳到两个类别中；②不疏漏：即某一事物不能在所有类别中找不到.）

【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.

        2.分数分为正分数、负分数.

3.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如0.333…= 

阅读材料：教材95页《无限循环小数化分数》.

             4.无限不循环小数是无理数，如：π.

5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数.

6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。

7.几个常见的概念：非负数：指正数和零；  非正数：负数和零； 

1.2.2数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；

【说明】1.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

2.数轴的画法：

①先画一条水平的直线；

②在直线的右边画箭头，表示正方向；

③在直线上任取一点，作为原点，表示数0；

④以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度.

3.数轴的性质：

①数轴上的点与有理数一一对应关系；

②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

③数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。

④数轴上到原点的距离相等的点有2个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.

4.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数，右边的总比左边大.

5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题.

6.数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础.

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；

【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.

注：一个数的相反数为非负数，那么这个数是（     ）

2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.

3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.

4.相反数的读法：-(-2)读作负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-(-2)=2.

5.一般地，数a的相反数是-a.

6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负.

1.2.4绝对值

在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.

【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.

2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

注：即： 如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0

如果=-a  那么a满足什么条件？  =a，那么a满足什么条件？

3.绝对值等于a（a≠0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数.例如：|a|=2，则（）.

4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

            5.理解： ； ；

6.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：

若，则ab≥0；（表示a、b同号或至少其中一个为0）.

若，则ab≤0；（表示a、b异号或至少其中一个为0）.

若，则ab=0；（表示a、b至少其中一个为0）.

1.3 有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。

【说明】1.进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.

加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.

用字母表示：.

加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.            

用字母表示：( a+b ) +c = a + (b +c).

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

1.3.2有理数的减法

减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.

【说明】1. “两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．

2.有理数减法常见的错误：①没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“－”；②仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；③只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.

几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例如：.可以读作：a加b减c，也可以读作：a，b，-c的代数和.有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.

1.4 有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.

倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数.若ab=1，则a和b互为倒数.

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.

乘法运算律：

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab=ba.

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(ab)c=a(bc).

乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b+c) =ab+ac.

【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.

        2.求一个数的倒数的方法：①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置.  ②求一个整数的倒数：可以把整数看成是分母为1的分数，再把分子、分母颠倒位置.  ③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置.

1.4.2有理数的除法

除法法则：除以一个数不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

【说明】1.除法法则可以把除法转化为乘法.

          2.有理数除法的一般步骤：

①确定商的符号；

②把除数化为它的倒数；

③利用乘法计算结果．

      有理数的加减乘除混合运算：先乘除，后加减.

第二篇：有理数知识点总结

一、有理数的基础知识

1、三个重要的定义

（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。

概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要严格按照“大于0的数叫做正数；0小的数叫做负数”去识别。

②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。

③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合；

④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等；

2、有理数的概念及分类

整数和分数统称为有理数。

有理数的分类如下：

（1）按定义分类：                        （2）按性质符号分类：

                   

概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化成整数或分数；

          ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数

③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；

3、数轴

标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可；

②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向；

③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等；

④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设是一个正数，则数轴上表示数的点在原点的右边，与原点的距离是个单位长度；表示数的点在原点的左边，与原点的距离是个单位长度。

⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式，这两个公式选择那个都一样。

4、相反数 

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

概念剖析：①“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。

          ②很显然，数的相反数是，即与互为相反数。要把它与倒数区分开。

          ③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。

④在数轴上离某点的距离等于的点有两个。

⑤如果数和数互为相反数，则+=0；或；

⑥求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；例如的相反数是；

5、绝对值

 数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

概念剖析：①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即。

          ②互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。

二、有理数的运算

1、有理数的加法

（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律：

加法的交换律 ：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)

知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

2、有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。

          转化后它满足加法法则和运算律。

3、有理数的乘法

（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。

（3）倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。

概念剖析：①“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负”

          ②多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。

          ③有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。

4、有理数的除法

有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它满足乘法法则和运算律。

          ②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即的倒数为；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。

5、有理数的乘方

（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。

（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，偶数次幂是1、奇数次幂是；

概念剖析：①“” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；

②。因为表示个相乘，而表示个的相反数；

③任何数的偶次幂都得非负数，即。

6、有理数的混合运算

（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。

7、科学记数法

（1）把一个大于10的数记成的形式，其中是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。

（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）一个数，从左边第一个不是的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。

概念剖析：I  把一个数用科学记数法表示为，其中，为自然数，

①当时， 为这个数的整数位数减1；例如：用科学记数法表示得，它满足 ， （的整数部分有6位数）；

②当时，为0；例如：用科学记数法表示得；

③当时，为由变到的过程中小数点移动位数的相反数；

④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。

II 在让数字精确和数有效数字时应注意：

①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将精确到千分位，应为，不应为。其他分位也应注意。

②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法的形式中，效数字只与有关，而与无关。