有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式.

有理数可分为整数和分数也可分为三种,

一；正数,

二；0,

三；负数.

数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

另一种定义有理数（rational number)：

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π,3.141592653...

而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数

正整数和0又被称为自然数

如3,-98.11,5.72727272??,7/22都是有理数.

有理数还可以划分为正整数、负整数、正分数、负分数和0.

全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.

有理数集是实数集的子集.相关的内容见数系的扩张.

有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

①加法的交换律 a+b=b+a；

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0,使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a1=a；

⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1.

⑩0a＝0 一个数乘0还等于这个数.

此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.

有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.

值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是

rational number,而rational通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理.

有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法,我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法,这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的式子是几个正数或负数的和的形式,我们把这样的式子叫做代数和.

除了无限不循环小数以外的实数统称有理数.

整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n（m,n都是整数,且n≠0）的形式.任何一个有理数都可以在数轴上表示.其中包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数.这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用.数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(通常写作 a/b,故又称作分数.无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数.所有有理数的集合表示为Q. 有理数加减混合运算 有理数的巧算

1.有理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法,我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法,这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的算式是几个正数或负数的和的形式,我们把这样的式子叫做代数和.

2. 有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 有理数加减混合运算的方法和步骤： （1

）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.

（2）运用加法法则,加法交换律,加法结合律简便运算.

一般情况下,有理数是这样分类的：

整数、分数；正数、负数和零；负有理数,正有理数.

初中数学书中介绍的用计算器做有理数运算

整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达,其中a、b都是整数,且互质.我们日常经常使用有理数的.比如多少钱,多少斤等.

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数,又叫无限不循环小数.

在有理数中,不是无限不循环小数的小数就是分数.

第二篇：有理数知识点总结---超级实用

第一章 有理数全章系统复习资料

例1、若且，你能比较的大小吗？用“>”号把它们连结起来。

分析：直接比较有一定的难度，此时如果借助数轴来求解就比较方便了，首先可以确定在原点的右侧，在原点左侧，并可以知道离开原点的距离是大。

解：将，在数轴上表示如右图：

所以

1.0既               ，也                   。

2.正整数、零和负整数统称为        ；正分数和负分数统称为           ；          和          统称为有理数。

2.把一些数放在一起，就组成一个数的         ，简称

  数集。

3.零和正数统称为      ，零和负数统称为          。

4.正整数和零统称为        ，又统称为             ；

  零和负整数统称为          。

（一）把下列各数填在相应的集合中：

 8、-1、-0.4、、0、、6、9、、114、-19

正数集合：﹛                                 …﹜

负数集合：﹛                                 …﹜

整数集合：﹛                                 …}

分数集合：﹛                                 …﹜非正数集合：﹛                                …﹜

非负数集合：﹛                                …﹜

非正整数集合：﹛                             …﹜非负整数集合：﹛                             …﹜（二） 判断题：

1. 一个有理数不是正数就是分数。（     ）

2. 一个有理数不是整数就是分数。（     ）

3. 有限小数和无限小数都是有理数。（     ）

4. 0表示没有温度。（     ）

（三）选择题：

6. 下列说法正确的是（     ）

A.一个有理数不是正数就是负数

B.一个有理数不是整数就是分数

C.有理数指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类

D. 以上结论都不对

7. 在下列说法中不正确的是（     ）

   A. 如果是有理数，那么是偶数

   B. 一个整数不是奇数就是偶数

   C. 一个数不能同时既为正数也为负数

   D. 0是最小的自然数

（四） 填空题：

10.非负整数与正整数的区别是非负整数包括       ，而正整数不包括     。

11.自然数包括           和               。

12.从负有理数集合中去掉负分数，得到          集合。

一. 必记概念：

1. 规定了         、          和          的   线叫做数轴。

3.任何一个有理数都可以用数轴上的         来表示。

5. 在数轴上，正数在原点          ，负数在原点           ，零在     上。

（三） 填空题：

12. 在数轴上，与表示-2的点相距5个单位长度的点表示的数是           。

（四） 解答题：

13. 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“﹤”把这些数连接起来。

-5、 2、 0、 4、 -3、 1、-1

1.2.3 相反数

1. 在数轴上，如果表示两个数的点到原点的           ，它们分别在       左右，我们就说这两点关于         对称。

2. 只有        的     个数互为相反数，即其中一个数是另一个数的       ，如2和-2互为相反数，那么2是     的相反数，-2是     的相反数。

二. 必记公式：

3. 一般地和     互为相反数，且在数轴上表示和      的两点到原点的距离         ，它们分别在               。

5. 在任意一个数前面添上“-”号，新数表示原数的          ，在任意一个数前面添上“+”号，新数表示原数的            。

三. 必记性质：

6. 一个正数的相反数是          ；一个负数的相反数是         ；0的相反数是              。

四. 练习：

（一） 判断题：

1. 符号不同的两个数是相反数，零的相反数是零。（     ）

3. 一个数的相反数一定是负数。（     ）

（二）选择题：

6. 下列叙述中不正确的是（     ）

   A. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数

   B. 和原点距离相等的两个点所表示的数一定是互为相反数

   C. 符号不同的两个数互为相反数

   D. 两个数互为相反数，这两个数有可能相等

7. 在一个数前面加一个“-”就可以得到一个（     ）

   A. 负数    B. 非负数    C. 非正数     D. 原数

12. 如果一个数的相反数是它本身，则这个数是        ；若，则。

14. 若-{-[-(-a)]}=-1，则a=     。

15. 若是负数，则是            ；若是非负数，则是           。

16. 简化下列各数：

（四）解答题：

18. 已知数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数、，并且A、B两点间的距离是14，求、的值。

1.2.4 绝对值

一. 必记概念：

1. 一般地，数轴上表示数的点，与                 叫做数的绝对值，记作              ；如：在数轴上表示数10的点，到原点的距离为       ，所以10的绝对值为             ，记作：              。

二. 必记计算依据：

2. 一个正数的绝对值是             ，一个负数的绝对值是              ，0的绝对值是              。

三. 必记性质：

3. |a|=

4. 一个数的绝对值总是             数。

四. 必记原理：

5. 两个正分数比较大小，如果分母相同，则            的分数大，如果分子相同，则分母        的反而小。如果是异分母分子的分数比较，首先化为

                  ，再比较大小。

7. 两个负数，               大的反而小。

五. 练习：

（一） 判断题：

2. 若|a|=|b|，则。（     ）

3. 一个数总比它的相反数大。（     ）

4. 如果a>b,|a|>|b|，那么。（     ）

5. 一个数的绝对值比它的相反数大。（     ）

7. 在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上的（     ）

   A. 原点及原点左边  B. 原点右边  C. 原点左边  D. 原点及原点右边

（三） 填空题：

16. 若|x|>x,则x   0；若x£-x，则x  0。

17. 最小的正整数是      ；最大的负整数是       ；最大的非正数是      ，最小的非负数是      ；最小的自然树是       。

1.3 有理数的加减法：

一. 必记法则：

（一）有理数的加法法则：

1. 同号两数相加，取       符号，并把          相加。

2. 绝对值不等的异号两数相加，取            的符号，并用            减去                     。

3. 互为相反数的两数相加得             。

4. 一个数与0相加仍得            。

（二）有理数加法运算律：

5. 加法交换律：两个加数，交换             和不变，可用字母表示为      。

6. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，其和              ，可用字母表示为                        。

（三）有理数减法法则：

7. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的                  。

8. 0减去一个数得               。

9. 若a>0,b<0，则a-b   0；若a<b，则a-b   0。

二. 简便运算的方法：

1. 互为相反数的两数，可先相加；

2. 几个数相加可得整数时，可先相加；

3. 同分母的分数可先相加；

4. 同号加数可先相加。

三. 练习：

⑵

⑶ ； 

⑷

1.4 有理数的乘除法

一. 必记性质：

（一）有理数的乘法法则：

1. 两数相乘，同号得正，异号得      ，并把             相乘；任何数与零相乘都得              。

2. 几个不等于零的因数相乘，积的符号由          的个数决定，当        的个数为        个时，积为负；当         的个数为       个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为         ，积就是零。

（二）有理数乘法的运算律：

3. 乘法结合律：三个数相乘，先把         相乘，或者先把         相乘，积不变。可用式子表示为。

4. 乘法分配律：一个数与两个数相乘，等于把这个数分别和         相乘，再把所得的积         。可用式子表示为。

5. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积         。设这两个数为，则可用式子表示为                   。

（三）有理数除法法则：

6. 倒数的意义：乘积为1的两个数互为        ；乘积为-1的两个数互为     。

   注：零没有倒数、负倒数。

7. 乘除法统一原则：除以一个数等于乘以这个数的             。

   注：零不能作            。

8. 有理数除法法则：两数相除，同号得     ，异号得      ，并把      相除。零除以任何一个不为零的数都得        。

二. 练习：

5. 一个非零有理数与它的相反数的商（     ）

   A. 符号比为正   B. 符号比为负   C. 一定为零   D. 一定不小于0

6. 若，则一定有（     ）

7. 如果-abc>0,b、c异号，则a   0。

11. 计算：

⑵

⑶     

⑷

12. 用简便方法计算：

⑴ ；        

⑵ ；

⑷ 。

1.5 有理数的乘方

一. 必记概念、性质：

1. 求n个相同因数a的积的运算叫做            ，乘方的结果叫做       ，记作aⁿ，其中a是        ，n是        ，aⁿ读作                  。

2. 幂的符号法则：                    

                                  

3. 一个数可以看成这个数本身的      次幂。

4. 做有理数混合运算时，先        ，再          ，最后          ,同级运算                   ，如有括号先作         的运算，再按小括号、中括号、大括号依次进行。

5. 科学记数法：把一个大于10的数记成           的形式，其中a的取值范围是             ，n为             ，且n与所表示数的整数数位                         。

6. 有效数字：一个数从左边第一个         的数字起，到          数字为止，所有的数字都叫做这个数的                    。

二. 练习：

1. 用四舍五入对318.96取近似数，要求保留4个有效数字，则318.96。

3. 近似数0.033万精确到        位，有      个有效数字，用科学记数法表示记作             。

4. 近似数1.406×10⁴精确到    ，有个有效数字，它们是         。

6. 下列说法中，正确的是（     ）

   A. 一个数的平方一定小于这个数的绝对值

   B. 如果一个数大于它的平方，那么这个数一定大于1

   C. 大于1的数的立方一定大于原数

   D. 任何有理数的奇次幂是负数，偶次幂是正数

8. 计算：

⑵

⑶      

⑷

10. 已知，求的值。

二、经典考题剖析：

【考题1－1】（20##、(20##、宁夏)20##年10月15日，中国“神舟”五号载人飞船成功发身，航天员杨利伟在约21小时内环绕地球14圈 ，飞行总长度约为59万千米，用科学记数法表示飞行总长度的千米（ ）

  A、59×10⁶  B、5.9×10⁴  C、5.9×10⁵ D、5.9×10⁵

【考题1－2】（20##、贵阳，3分）据中新社报道：20##年我国粮食产量将达到540000000000千克，用科学记数法表示这个粮食产量为_______千克.

【考题1－3】（20##、潍坊，2分）据生物学统计，一个健康的成年女子林内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学记数法可表示为（  ）个

三、针对性训练：(20 分钟) (答案：222 )

1．用科学记数法表示下列各数：

  （1）400320；       （2）－741．25；

  （3）0．72 ×10⁵；  （4）0．046 X 10’．

考点2：近似数与有效数字

二、经典考题剖析：如图1—3—

【考题2－1】（20##、深圳南山区正题，3分）20##年  6月5日是第33个世界环境日，其主题是“海洋存在，匹夫有责·”目前全球海洋总面积约为36105．9万平方公里，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（3．61×10⁸平方公里  ）

【考题2－2】（20##、南宁，2分）南宁国际会展中心是即将举办的中国—东盟博览会的会址，其总建筑面积为112100平方米，用科学记数法表示为____

           平方米（保留三个有效数字）．

   解：1．12 ×10⁵     点拨：有效数字指从左边第一个非零的数字起到精确到的数位止的所有数字，科学记数法a×10ⁿ中，有效数字是指a的有效数字．

【考题2－3】（20##、青岛，3分）20##年10月15日，航天英雄杨利伟乘坐“神舟五号”载人飞船于9时   9分5 0秒准确进人预定轨道，开始巡天飞行．飞船绕地球飞行了十四圈后，返回舱和推进舱于6日5时59分分离，结束巡天飞行．飞行共用了20小时49分10秒，巡天飞行了约6×10⁵个千米，则“神舟五号”飞船巡天飞行的平均速度约为_________千米／秒．（结果精确到0.l）

   解：8．0 点拨：20小时49分10 秒=74950秒，6×10⁵÷74950≈8·0（千米／秒）。  

【考题2－4】（20##、南宁，10分）以下资料来源于20##年《南宁统计年鉴》如图1—3—l，□表示南宁市农民人均纯收入（元），▓表示南宁市城市居民人均可支配收入（元）．

   （1）分别指出南宁市农民入均纯收人和城市居民人均可支配收人相对于上一年哪年增长最快？

   （2）据统计，2000～20##年南宁市农民年人均纯收人的平均增长率为7．5％，城市居民年人均可支配收人的平均增长率为8。7％，假设年平均增长

   率不变，请你分别预计20##年南宁市农民人均纯收人和城市居民人均可支配收人各是多少？（精确到1元）．

   （3）从城乡年人均收人增长率看，你有哪些积极的建议？（写出一条建议）

   解：（1）都是 20##年；（2）预计20##年农民人均纯收入：2524（1+7．5％）² ≈2917（元）．城市居民人均可支配收入：8796（1＋ 8．7％）² ≈10393（元）；

   （3）如：加快农业建设步伐等．

   点拨：本题考查了数形结合思想，并且加强了对开放性问题的考查。为学生提供了自主探索的空间，活跃了学生思维，增强了学生的创新意识．

三、针对性训练：( 20分钟) (答案：222 )

1．20##年底，我国国民生产总值突破10万亿元，这个数用科学记数法（保留两个有效数字）表示为（）

  A．1×10⁵亿元          B．1×10¹³元

    C．1.0×10¹³元          D．1.0×10¹⁰元

2．689000精确到万位的近似数是__________，保留两个有效数字的近似数是___________．

3．2.488四合五人精确到十分位为_______，2649000保留两个有效数字的结果是___________，2．30×10⁵有________个有效数字，近似数0.00102有_________个有效数字．

4．用科学记数法记为 2.03 1×10⁶的数是_______，记为－1.951×10^-4的数是___________．

5．数a的近似数为2．05，则a的取值范围是_____

6．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门

  新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0．000000052米，用科学记数法表示此数为

    _________________米．

7．下列说法：①近似数18．0的有效数字的个数与近

  似数18的有效数字的个数一样；②近似数7百与

  近似数700的精确度一样；③“初三（3）班有6 0位同学”的60是准确数；④3．7×10^-2伦表示的原数是0．0037；⑤9．60 1×10⁶有三个有效数字，精确到万位．其中正确的是_____________（填序号）．

8．生物学家发现一种病毒的直径约为0．00000048m，

   用科学记数法表示为________________m．

9．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约

   为1．50亿元，这个近似数精确到_______位，有__________个有效数字，它表明我国每天因土地沙漠化造成的经济损失最少有__________亿元，若一年按365天计算，我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为______________元（保留三个有效数字）

10 下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总

   值（GDP）的统计表，那么这几年间我国国内生产

 总值平均每年比上一年增长_________万亿元．

★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★

【回顾1】（20##、河北，2分）生物学家发现一种病毒的长度约为0．000 043mm，用科学记数法表示这个数的结果为（  ）

 A．4．3 ×10^-4      B．4．3 ×10^-5   

 C．4．3×10^-6       D．43 ×10^-5    

【回顾2】（20##、丽水，4分）据丽水市统计局20##年公报，我市20##年人均生产总值约为10582元，则近似数10582的有效数字有（  ）

  A．1个     B．3个    C．4个    D．5个

【回顾3】（20##、南充，3分）计算一个式子，计算器上显示的结果为1．5972583，将这个结果精确到0．01，答案是________________  

【回顾4】（20##、河南，3分）20##年全年国内生产

  总值按可比价格计算，比上年增长9．5％，达到    136515亿元．136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（ ）

 A．l．365 ×10¹²元         B．l．3652×10¹³元

  C．13．6 5×10¹²元         D．1．365×10¹³元

★★★(III)2006年中考题预测★★★

( 50分   30分钟) 答案(222 )

一、基础经典题( 分)

(一)选择题(每题3分，共18分）

【备考1】已知5．4³=157．464，计算0．0054³，使结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示出来是（   ）

A．1．57 ×10^-7       B．1．57 ×10^-4

C．1．58 ×10^-7           D．1．58 ×10^-4

【备考2】珠穆朗玛峰海拔高度约为8848米，它的百

  万分之一是（   ）

  A．8．8 4 8  X  10－’米                                                                    B．8．8 4 8  XIO－‘米

  C．8．848 X 10－’米                     D．8．848 X 10－’米

【备考3】由四舍五人法得到近似数是47，下列数不

  可能是其值的是（）

  A．46．51．46．49 C．46．99 D．47．01

【备考4】四舍五人法得到的近似数 0．05010的有

  效数字的个数有（）

  A．2个  B．3个 C．4个  D．6个

【备考5】下列语句中不正确的是（）

  A：0．03精确到百分位，有一个有效数字

  B．200精确到百位，有一个有效数字

  C．28．5精确到十分位，有三个有效数字

  D．2．850精确到千分位，有四个有效数字

【备考6】据中央电视台报道，20##年我国国有资产总量达到 118299．2亿元，若用科学记数法表示这个数据（保留5个有效数字）应表示为（）

A．1．1830×10⁵亿元   B．l．183 ×10⁵亿元

  C．1．183 ×10⁶亿元   D．1．1830 ×10⁵亿元

（二）填空题（每题4分，共12分）

【备考7】由 0．03096四舍五人精确到万分位所得近

  似数的有效数字是______________．

【备考8】在人体内某种细胞的直径是0.00000 156m，0·00000156用科学记数法表示为______________．

【备考9】我国人口总数为1295330000人，将其精确到千万位，则这个数为，有_________个有效数字

二、实际应用题

【备考10】计算机中一般用b（字节）， kb（千字节）

  或Mb(兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1 kb=2¹⁰b，1Mb=2¹⁰kb，1Gb=2¹⁰Mb．一种新款电脑的硬盘存储容量为   60Gb，它相当于多少__________kb？（结果用科学

  记数法表示，并保留三个有效数字）

三、渗透新课标理念题

【备考11】（新情境题）甲、乙两位同学的身高都大约

  是1．6 ×10² cm，但有人说乙比甲高9cm，请问有这种可能吗？若有这种可能，请举例说明．