第一章 有理数

1、正数和负数的有关概念

（1）正数：比0大的数叫做正数；

负数：比0小的数叫做负数；

0既不是正数，也不是负数。

（2）正数和负数表示相反意义的量。

2、有理数的概念及分类

有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类：

                

3、有关数轴

（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。

（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。

4、绝对值与相反数

（1）绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：。

     一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.

（2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

        若a、b互为相反数，则a+b=0；

        相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

（3）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。任何数的绝对值是非负数。

本身之迷

①倒数是它本身的数是±1                       ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）

③平方等于它本身的数是0，1        ④立方等于经本身的数是±1，0

⑤偶数次幂等于本身的数是0、1    ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0

⑦相反数是它本身的数是0

数之最

①最小的正整数是1     ②最大的负整数是-1     ③绝对值最小的数是0

④平方最小的数是0     ⑤最小的非负数是0     ⑥最大的非正数0

⑦没有最大和最小的有理数             ⑧没有最大的正数和最小的负数

5、利用绝对值比较大小

     两个正数比较：绝对值大的那个数大；

      两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。

6、有理数加法

（1）符号相同的两数相加：和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和．

（2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值；当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零．

（3）一个数同零相加，仍得这个数．

加法的交换律：a+b=b+a

加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

7、有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

8、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。

例如：14+12+（-25）+（-17）可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和.”

9、有理数的乘法

两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

第一步：确定积的符号        第二步：绝对值相乘

交换律：

结合律：

分配律：

10、乘积的符号的确定

几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。

11、倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。

   正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（互为倒数的两个数符号一定相同）

   倒数是本身的只有1和-1。

12、有理数的除法

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；0除以任何一个不等于0的数，都得0。

13、有理数的乘方

（1）求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.

一般地，记作，读作：a的n次方，表示n个a相乘；其中，a是底数，n是指数，称为幂。

（2）正数的任何次幂都是正数.

负数的奇数次幂是负数,

负数的偶数次幂是正数.

（3）一个数的平方为它本身,这个数是0和1；

     一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。

14、科学计数法

一般情况下，把大于10的数表示成（n为正整数）的形式时，为了统一标准，规定了a的范围，

(1≤a＜10)，这种记数方法叫做科学记数法。

15、有理数混合运算

有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的。

16、比较两个有理数大小的方法有：

（1） 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较；

（2） 根据规定进行比较：两个正数；正数与零；负数与零；正数与负数；两个负数，体现了分类讨论的数学思想；

（3） 做差法：a-b>0 ?a>b;

（4） 做商法：a/b>1，b>0 ?a>b.

第二篇：有理数知识总结

第一章  有理数知识总结

苏志超 1（7）

1.概念

⑴有理数的分类：

  

③非负数、非正数、非负整数、非正整数

⑵分数与小数的互换

2.数轴

⑴概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

⑵用数轴表示数： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.

⑶利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.

比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.两个负数，绝对值大的的反而小

3.相反数

⑴概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

0的相反数仍是0.

⑵性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.

②互为相反数的两个数的和为0；

即：若与互为相反数，则.

反之，若两数的和为0，则它们互为相反

4.绝对值

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值

① 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

②绝对值具有非负性，即>=0.

⑶“两个负数，绝对值大的反而小”

5. 有理数的加法法则

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③互为相反数的两个数相加得0；=

④一个数同0相加，仍得这个数.

有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数

题目（1）7+（-4)+6-(-5) =14

（2）6-(-4)+5-（+1）=14

（3）16.5+（-4.5）+（+5）=19

（4）30-（+5）=25

（5）61+（-60）+20-（+15）=6

6.有理数乘法法则

  ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

  ②任何数同0相乘，都得0

  有理数乘法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数

题目(1) (-7)×(-1) ÷7+8 ＝9

(2) (-11)×4-(-18) ÷18 ＝-43

(3) 4+(-11)-1÷(-3) ＝8又3分之1

(4) (-17)-6-16÷(-18) ＝22又18分之2

(5) 5÷7+(-1)-(-8) ＝8又7分之5

★易错点：运算结果的性质符号取决于负因数的个数，当负因数为奇数个时，结果为“负”，当负因数为偶数个时，结果为“正”

7.有理数的乘方

⑴概念：求n个相同的因数的积的运算，叫做乘方，

⑵幂的概念：乘方的结果叫做幂.

在中，叫做底数，n叫做指数.

⑶乘方的运算法则：

①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.

②正数的任何次幂都是正数，0的任何任何正整

数次幂都是0.

③分数的乘方，只需将分子、分母分别乘方。

⑷偶次幂的非负性：

8.科学计数法/近似数

⑴科学计数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数）.

⑵精确度：近似数四舍五人到哪一位，就精确到哪一位.

⑶有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.

⑷ “科学计数法”中的易错点：

①应满足；

②n等于原数的整数位数减1；

③负数的科学记数法只要在前面加上“负号”

④精确度由“的末位数字”还原后所在的数位决定；

⑤有效数字只与“”有关。

（同理，当近似数后面有单位时，有效数字与单位无关，只与单位前面的数有关；但精确度与单位有关）

第三篇：有理数知识点总结

第二章： 有理数
1.1 正数与负数
    在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.
    与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.

【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）

        2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.

        3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.

4.0既不是正数，也不是负数.

        5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少……例如：向东走2米，记作：+2米；那么向西走3米，记作—3米.

6.用正负数表示加工允许误差  例如：①图纸上注明一个零件的直径是mm，表示零件的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存在的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.

1.2 有理数

1.2.1有理数

有理数的概念：整数和分数统称有理数.

分类：（1）按定义分类：                 （2）按性质符号分类：

                 

（掌握分类方法应注意两点：①不重复：即同一事物不能归纳到两个类别中；②不疏漏：即某一事物不能在所有类别中找不到.）

【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.

        2.分数分为正分数、负分数.

3.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如0.333…= 

阅读材料：教材95页《无限循环小数化分数》.

             4.无限不循环小数是无理数，如：π.

5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数.

6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。

7.几个常见的概念：非负数：指正数和零；  非正数：负数和零； 

1.2.2数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；

【说明】1.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

2.数轴的画法：

①先画一条水平的直线；

②在直线的右边画箭头，表示正方向；

③在直线上任取一点，作为原点，表示数0；

④以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度.

3.数轴的性质：

①数轴上的点与有理数一一对应关系；

②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

③数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。

④数轴上到原点的距离相等的点有2个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.

4.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数，右边的总比左边大.

5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题.

6.数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础.

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；

【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.

注：一个数的相反数为非负数，那么这个数是（     ）

2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.

3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.

4.相反数的读法：-(-2)读作负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-(-2)=2.

5.一般地，数a的相反数是-a.

6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负.

1.2.4绝对值

在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.

【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.

2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：

注：即： 如果a＞0，那么=a；如果a＜0，那么=-a；如果a=0，那么=0

如果=-a  那么a满足什么条件？  =a，那么a满足什么条件？

3.绝对值等于a（a≠0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数.例如：|a|=2，则（）.

4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

            5.理解： ； ；

6.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：

若，则ab≥0；（表示a、b同号或至少其中一个为0）.

若，则ab≤0；（表示a、b异号或至少其中一个为0）.

若，则ab=0；（表示a、b至少其中一个为0）.

1.3 有理数的加减法

1.3.1有理数的加法

加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。

【说明】1.进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.

加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.

用字母表示：.

加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.            

用字母表示：( a+b ) +c = a + (b +c).

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

1.3.2有理数的减法

减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.

【说明】1. “两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．

2.有理数减法常见的错误：①没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“－”；②仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；③只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.

几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例如：.可以读作：a加b减c，也可以读作：a，b，-c的代数和.有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.

1.4 有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.

倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数.若ab=1，则a和b互为倒数.

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.

乘法运算律：

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab=ba.

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(ab)c=a(bc).

乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b+c) =ab+ac.

【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.

        2.求一个数的倒数的方法：①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置.  ②求一个整数的倒数：可以把整数看成是分母为1的分数，再把分子、分母颠倒位置.  ③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置.

1.4.2有理数的除法

除法法则：除以一个数不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

【说明】1.除法法则可以把除法转化为乘法.

          2.有理数除法的一般步骤：

①确定商的符号；

②把除数化为它的倒数；

③利用乘法计算结果．

      有理数的加减乘除混合运算：先乘除，后加减.