《购房中的数学问题》研究性学习报告

作者班级：广州市113中高一六班

研究小组成员：李俏俏 彭馨莹 许碧茹 陈伟芸  

指导老师：李琼

（一）研究背景

在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。

（二）研究目的意义

通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。

通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。

（三）研究方法

资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际

（四）研究内容

在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。

问题：某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在20##年重新购房。某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地厂商林林总总的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？他一时拿不定主意。以下是他的家庭状况以及可供选择的方案

购房还需要贷款。这位居民选择了一家银行申请购房贷款。该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：

申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为

本金部分=贷款部分÷贷款期季数，

利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）×季利率

准备工作：调查购房贷款的要求，建立数学模型。

提出问题：利用数列知识，根据以上购房贷款方式，预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？

实验步骤：

方案1:如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率为     5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例.

每季等额归还本金:

84000÷(15×4)=1400(元)

第一个季度利息:

84000×1.26%=1058.4(元)

则第一个季度还款额为

1400+1058.4=2458.4(元)

第二个季度利息:

(84000-1400×1)×1.26%=1040.76(元)

则第二个季度还款额为

1400+1040.76=2440.76(元)

……

第60个季度利息:

(84000-14000×59)×1.26%=17.64(元)

则第60个季度(最后一期)的还款额为

1400+17.64=1417.64(元)

可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为17.64元,其和为:

15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为17.64元，其和为：

方案2：因为首付4万，所以需要贷款10.2万，季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例。

每季等额归还本金：

102000÷（15×4）=1700（元）

第一个季度利息：

102000×1.26%=1285.2（元）

则第一个季度还款额为：

1700+1285.2=2985.2（元）

第二个季度利息：

（1020##-17001）1.26%=1263.78（元）

则第二个季度还款额为：

1700+1263.78=2963.78（元）

……

第60个季度利息：

（1020##-170059）1.26%=21.42（元）

则第60个季度（最后一期）的还款额为

1700+21.42=1721.42（元）

可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为21.42元,其和为:

15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为21.42元，其和为：

实验结果：建议这个居民采用方案1，理由如下：

（1）           因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那么每个月用于偿还购房贷款的金额为600~900元较为合适，每个季度为1800~2700元。

如果采用方案1，满足上述条件。

如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a₁=2985.2，公差为d=21.42的等差数列。若

a_n=2985.2+21.42（n-1）>2700，

则n<15.也就是说，当n<15（个季度）时，每个季度的还款额大于2700元，即在大于11年的时间内，偿还银行的钱占这个家庭收入的30%以上，显然给这个家庭生活造成了较大的负担。

（2）以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息

39198.6-32281.2=6917.4（元）

（3）方案2中的住房是旧房，使用年限较短。

实验反思：

把实际问题转化为数列的模型，再通过解不等式求得。

首先我们要弄清楚题意，了解数列的建立、数列的分析和解法，以及贷款的知识和不等式的解法。为了巩固和熟悉这方面知识，我们应该把问题结合到实际生活中，把抽象转为形象，对其做探究。

（五）研究过程

1.准备阶段（20##年5月2日-20##年5月6日）

学生分组，明确研究课题，拟定计划，多途径收集文献资料，选取和编制报告结构等。

2.实施阶段（20##年5月6日-20##年5月26日）

小组成员分配工作，首先了解购房中的数学，把收集的资料总结归纳。再根据各成员所收集的资料，进行研究讨论，对购房中的数学有更深的了解，并加强对其学以致用。

3.总结阶段（20##年5月26日-20##年6月1日）

将所有数据用word文档进行总结归纳。分析内容和记录，开展交流探讨活动，撰写研究报告。

（六）研究结果

使我们对数列的内容进行深入了解，加强了对学习数学的趣味。加强对数列应用，推及到日常的生活中。提高我们运用数学知识来分析和解决生活实际问题的能力。

（七）学生体会与收获

通过这次研究性学习活动,我们有了很多收获。

首先,这次活动让我们深刻体会到“数学知识源于实际生活,又为实际生活服务。”数学的运用很广,生活中处处有数学，日常生活中蕴含的许多熟悉,有趣的，新奇的数学问题,都可以用我们课本的知识解决。

第二,研究性活动让我们学会更好的领悟运用数学,知道数学不仅限于课堂,要懂得用数学眼光,数字思维,数学方法观察生活,认识世界。在生活中多思考运用。

第三,活动提高了我们发现问题的能力,应用数学的意识。我们通过活动明确了为什么学习数学,学数学的意义，这更激发了我们不断探索发现数学规律。

第四,研究活动让学生选择感兴趣的项目，合作探究，利用信息，借助工具，深入调查，多方面研究，最后得出研究结果。这个活动加强了我们的合作精神，也使得我们变得更有耐心！

（八）教师反思

在数列这一章节学习时，布置学生对生活中购房的问题进行研究和探讨，学生通过搜集统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究数列的性质，提出优化方案，使问题得到解决。在这次活动中，同学们不仅了解到利用数列知识可以解决生活中的实际问题，也在研究的过程中学会了小组合作和资料收集、筛选等多种方法，体会到了研究的钻研精神和信心重要性。

第二篇：数学研究性学习报告(二次函数)

班级：高二（6）班

课题组长：余杭银

课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、

          徐李忺、朱佳威、顾棋锋

指导老师：王少波

研究性学习课题开题报告

201 4 年 5 月 30 日

1.二次函数的基本定义

一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

2. 二次函数图象的特点及应用  

     二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。                    

二次函数图象的特点 

   一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。且a≠0） 

则称Y为X的二次函数。 

①二次函数的三中表达形式： 

  （1）一般式：  y=ax2+bx+c（ 其中a,b,c为常数，且 a≠0）；             

 （2） 顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a≠0） ；     

  （3）交点式： y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且 A( x1，0)和B(x2，0)

为二次函数图像与x轴的交点坐标。 ）

 ②三中表达形式的关系 

     以上3种形式可进行如下进行转化：    

（1）一般式和顶点式的关系 

   对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即  h=-b/2a=(x1+x2)/2  k=(4ac-b^2)/4a  

（2）一般式和交点式的关系  

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)  ]

抛物线的性质  

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。  

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）  

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )  当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。  

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。  

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。  |a|越大，则抛物线的开口越小。  

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。  当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；  当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。  

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。  抛物线与y轴交于（0，c）  

6.抛物线与x轴交点个数  

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。  Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。  Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）  

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变  

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为

y=ax^2+c(a≠0)  

7.定义域：R  值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）  

8.奇偶性：偶函数  

9.周期性：无  

二次函数图像的应用  

   二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。 

典型题目如：

  （一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3]. 

利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。 

   （二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。 解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1…… 

运用函数与方程的思想方法。 

（三）、实根问题：设二次

函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范围。解得0＜a＜3-2√（2）. 

用数型结合的思想来做的。 

（四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和

一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）. 

二次函数和一次函数的共同问题。 

生活实际运用如：

 （一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。 

   （1）请写出y与x之间的关系式； 

   （2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 

解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。 （2）由y=-5x2+100x+6000得       当x=-b/2a=10时，       Ymax=（4ac-b2）/2a=60500 

      所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。       

（二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。 

         已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。 

     解：关系式为y=-x2+3x（0＜x＜3）           Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0＜x＜3 

          所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。        

 （三、拱桥问题。 

         有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米, 求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米

的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？ 

  解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2 ；        计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速度应超过60 千米/时。 

     …… 

二次函数在生活上具有非常广泛的应用，地位很高，所以我们要认真学习该部分知识。

3. 二次函数图象在古代建筑中的应用 

赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。桥长50.82米，跨径37.02米，券高7.23米，两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。唐朝的张嘉贞说它“制造奇特，人不知其所以为”。

根据相关数据，计算得出，赵州桥满足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，这就是二次函数图像的实际应用。

 研究性学习课题结题报告（成果报告）