研究性学习报告

                    ——探索勾股定理

一、    什么是勾股定理。

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

如图：

       图1            图 2

如图1，我国古代一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把直角边与斜边关系所形成的定理，叫做勾股定理（a²+b²=c²）

图（2）中的直角三角形ABC中，设 勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，三条边的关系为：

3²＋4²=5²

所以如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：

a²+b²=c²

即在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
    这就是我国最古老的数学书籍《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。

古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。

勾股定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。"什么是"勾、股"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。
     勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

二、勾股定理的验证。

1. 我国历代数学家关于勾股定理的论证。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
    将四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
    赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

2.利用现在的方法也能证明勾股定理。               

如图(3)：

延长CB到H,使CH=AB, 以C为顶点，CH为一边，作∠GCH=∠CAB,且使CG=AC,以AC,CG为两边，            过G做GD∥AC, 过A做AD∥CG，再过D点作DE⊥AB于E, 过G做GF⊥DE与F

∵∠GCH=∠CAB，∠ABC=90

∴∠CAB+∠ACB=90

∠GCH＋∠ACB=90

既：∠ACG=90

又∵GD∥AC，AD∥CG，且CG=AC

∴四边形ACGD为正方形.

∴AC=CG=GD=AD, ∠ACG=∠CGD=∠ADG= ∠CAD.

∵DE⊥AB，∠B=90,

∴DE∥CH,∴CH⊥GF于H

∴∠HGC+∠HCG=90

∵∠ACB+∠HCG=90

∴∠HGC=∠ACB.

∴可得：ΔABC≌ΔCHG

同理可证得：ΔABC≌ΔCHG≌ΔGFD≌ΔDEA

∴CH=GF=DE=AB, DF=AE=BC=GH

∴EF=FH=HB=EB

∴四边形EFHB为菱形

又∵GF⊥DE

∴四边形EFHB为正方形

设CH=GF=DE=AB=a, DF=AE=BC=GH=b, AC=CG=GD=AD=c

∴S_{正方形EFHB} =(a－b)²=S_{正方形ACGD}－4•S_ΔACB =c²－2ab

整理：a²－2ab+b²=c²－2ab

a²+b²=c²

既AB²+BC²=AC²

三、    名人与勾股定理。

毕达哥拉斯

在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。

毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，

他曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。

毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。

小故事:   西方的勾股定理之父——毕达哥拉斯

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。

赵爽与勾股圆方图

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）².则可得4×（ab/2）+（b-a）²=c²
化简后便可得： a²+b²=c²     即c= a²+b²
    赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

第二篇：数学研究性学习报告

数学研究性学习报告

——关于数学美

高一级数学研究性学习小组 20xx年5月

“实践检验真理”。这是伟大的改革开放总设计师邓小平的名言。生活中的数学，便体现了数学这一基本学科的实用性。有道是源于生活，生活中的数学无处不在。从市场交易，买卖双方之间。到建起一座摩天大楼、旷世奇观。艺术大师的一幅幅著名作品中，无不运用到数学。同样，数学与各个学科之间有着莫大的联系。物理，化学，甚至语文。文学创作中，运用一些数学的东西，会使作品更富有哲理性。

何谓数学美？这听起来好像属于主观臆断的问题。其实，数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维，就是数学的美。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这是数学的真；数学理论不管离现实有多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善。人们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面而自由的发展之最高层面上，数学就是真善美的统一。

一直以来，数学给我们学生的感觉是——头痛。陌生的符号，抽象的概念，使人望而生厌。句读之未通，符号之不识，哪里谈得上审美的情趣呢。其实不然，我国过去小学生用的一种描红字帖上有一首儿歌：

一二三四五，金木水火土。

天地分高下，日月同今古。

在短短的20个字中，包含了极为丰富的内容。一二三四五是最小的几个自然数，它一方面像诗歌的“起兴”，有总起的作用，另一方面也泛指一切数量关系。金木水火土是古人认为构成物质世界的基本元素，代表物质世界。古人也常用一些自然数与之对应。第三句描述宇宙的广阔，第四句描述时间的永恒。可见，在这短短的20个字儿歌中，把数量，物质，时间，空间都联系在一起，缤纷灿烂的物质世界，浩瀚神奇的宇宙空间，姹紫嫣红，百美争妍，全都统一于数量之中。再看看下面这首：

一只青蛙一张嘴，

两只眼睛四条腿，

扑通一声跳下水。

就比如说一只青蛙对应着一张嘴，从中也就连带了关于数学中的映射知识，其中就有一一对应的知识；如此类推，两只青蛙就有两张嘴。还有，青蛙的眼睛和腿，就可以运用到乘法的代数知识。一只青蛙有两只眼睛，四条腿，那么，n只青蛙就有２n只眼睛，4n条腿。

宋朝的文学家苏轼不仅文章诗词写得好，而且书法绘画也很有造诣。有一次，他画了一幅《百鸟归巢图》，广东一位名叫伦文叙的状元，在他的画上题了一首诗：

归来一只复一只，三四五六七八只。

凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石食。

究竟苏轼画中确实有100只鸟，还是只有8只鸟呢？原来诗人使用了数论中整数分拆的方法，把100分成两个1，三个4，五个6和七个8之和，含而不露地落实了百鸟图中的“百”字：

1+1+3×4+5×6+7×8=100

可谓匠心独具。

整数的分拆问题，即把一个正整数按某些条件分成若干个正整数之和的问题，是数论和组合论中一个非常活跃的数学分枝，它涉及广泛而艰深的数学理论。著名的“歌德巴赫猜想”也可以看成两个素数之和。整数的分拆也是诗歌中常用的修饰手法。

值得注意的是，古代许多有名诗人在他们的作品中，表达那些不明确的，特别是带有明显的夸张，强烈的感情以及有神秘色彩的大数时，都很喜欢用一些由2，3，5，为质因数乘起来的数字，如：

飞流直下三千尺，疑是银河落九天。（李白）

3000=

日啖荔枝三百颗，不辞长作邻南人。（苏轼）

寓言，是文学作品的重要形式。向来都给人以深刻的启示。寓言中所谓科学寓言一类，它的某些素材就直接取材自数学知识。

有这样一则寓言：古印度的一个宰相，发明了一种“将棋”供国王娱乐。国王为此非常高兴，他让宰相自己提出奖赏什么。宰相要求在他发明的那张有64个方格的棋盘内放些麦粒，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，照此下去，下一格所放的麦粒都比前一格增加一倍。国王不假思索便答应了。第二天，国王的财政大臣气急败坏地跑来报告，他统计了全国的小麦储备，根本无法兑现这笔奖赏。利用等比级数的求和公式可算出宰相要求的麦粒数目是：

根据估算，一立方米的仓库大约可放 粒麦子，而宰相要求的麦粒数是 ，需要 立方米的仓库来储存。如果仓库高4米，宽10米，它的长度需要 千米，约等于地球与太阳之间的距离的两倍，或等于地球赤道长的7000倍。这批小麦的总数，全世界的劳动人民至少要2000年才能生产出来，国王拿什么来兑现呢？

还有一则，一个人到草原上买地，卖主的卖地方式很特别。只要交1000卢布，他可以在一天之内，从太阳出山开始，由草原上的任一点出发，在草原上走到太阳落山，在日落之前，他回到了出发点，那他一天所走的路线所围成的土地，就算他买到的。这个人虽然按时走回原地，但因为体力不支，立刻身亡。他是怎样走的？他先沿一条直线一口气走了10俄里，然后向左拐弯90º，断续前进了2俄里。这时候，他发现天色不早了，他已经走了24.7俄里的路程。于是，他不得不改变前进的方向，直接向出发点跑去。终于在日落之前跑了15俄里。他这一天共跑了42.35公里的路程，围住了约86.72平方公里的土地！他所走的路线是一个直角梯形，这是一种很不合理的走法。懂得几何的人都知道，如果走一个正方形，围成同样多的面积只要走37公里，少走5公里。如果跑一个圆圈，围住同样多的土地，则只需要跑33公里。只相当于他所跑路程的78%，也许还不致于累死！

任何时代，任何国家的文明都可以通过其建筑反映出来。建筑不仅是综合技术的标志，也是精神文明的象征。就如北京内城的建筑结构中，正阳门，天安门，午门，太和殿，景山，鼓楼，钟楼立于长达八公里的南北中轴线上，两旁的宫殿都呈对称分布。太和殿上的九龙宝座也刚好摆放在这条中轴线上。而景山上的万春亭就是北京内城的几何中心。在这里，多少也会表现了皇权至上的实质。

建筑的风格，建筑的审美要求，也是数学思想的反映。

在日常生活中，简单的正则构图可为平面（如墙壁，地板）填充视觉上的空白感。可曾留意，一般用来密铺平面的正则图案。有哪几款？要密铺平面，关键在于每块正则图形在接合于一点时，其内角的整数倍数是否相当于同顶角（在一相同顶点上，全部角的总和等于360º。n边形的内角和=180º×（n-2）。

我们可以作以下的运算：设m 个正n 边形在平面上的一点接合，由于正n 边形的每一个内角是（n –2）× 180º/n =360º 因此得： （n –2）× 180º/n =360º

m(>2)	n	图形
3	6	六边形
4	4	四边形
5	3.5	------
6	3	三角形

化简后得mn-2m-2n+4=4

m(n-2)-2(n-2)=4

(m-2)(n-2)=4→*

根据*，便可把 和 的关系与密铺平面的多边形选择如：

由此可见，以正则图形密铺平面只有三种选择。但这三种基础图形却可演变出其它多姿多彩的图案。所以，铺砌问题一直是数学家和建筑材料商们所感兴趣的问题。

数学并不是冷漠的事实和数据。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也有至高无上的美，正像雕刻中泛着一种严肃的美。从来，生活中的数学对于成年人来说，是很简单，很容易被发现的。我们作为学生，生活在这信息丰富的时代，就更应该将自己所学的科学知识运用到实际生活去，学以致用！