数学研究性学习报告

——关于数学美

高一级数学研究性学习小组 20xx年5月

“实践检验真理”。这是伟大的改革开放总设计师邓小平的名言。生活中的数学，便体现了数学这一基本学科的实用性。有道是源于生活，生活中的数学无处不在。从市场交易，买卖双方之间。到建起一座摩天大楼、旷世奇观。艺术大师的一幅幅著名作品中，无不运用到数学。同样，数学与各个学科之间有着莫大的联系。物理，化学，甚至语文。文学创作中，运用一些数学的东西，会使作品更富有哲理性。

何谓数学美？这听起来好像属于主观臆断的问题。其实，数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维，就是数学的美。一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这是数学的真；数学理论不管离现实有多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善。人们在谈论人文精神的时候，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面而自由的发展之最高层面上，数学就是真善美的统一。

一直以来，数学给我们学生的感觉是——头痛。陌生的符号，抽象的概念，使人望而生厌。句读之未通，符号之不识，哪里谈得上审美的情趣呢。其实不然，我国过去小学生用的一种描红字帖上有一首儿歌：

一二三四五，金木水火土。

天地分高下，日月同今古。

在短短的20个字中，包含了极为丰富的内容。一二三四五是最小的几个自然数，它一方面像诗歌的“起兴”，有总起的作用，另一方面也泛指一切数量关系。金木水火土是古人认为构成物质世界的基本元素，代表物质世界。古人也常用一些自然数与之对应。第三句描述宇宙的广阔，第四句描述时间的永恒。可见，在这短短的20个字儿歌中，把数量，物质，时间，空间都联系在一起，缤纷灿烂的物质世界，浩瀚神奇的宇宙空间，姹紫嫣红，百美争妍，全都统一于数量之中。再看看下面这首：

一只青蛙一张嘴，

两只眼睛四条腿，

扑通一声跳下水。

就比如说一只青蛙对应着一张嘴，从中也就连带了关于数学中的映射知识，其中就有一一对应的知识；如此类推，两只青蛙就有两张嘴。还有，青蛙的眼睛和腿，就可以运用到乘法的代数知识。一只青蛙有两只眼睛，四条腿，那么，n只青蛙就有２n只眼睛，4n条腿。

宋朝的文学家苏轼不仅文章诗词写得好，而且书法绘画也很有造诣。有一次，他画了一幅《百鸟归巢图》，广东一位名叫伦文叙的状元，在他的画上题了一首诗：

归来一只复一只，三四五六七八只。

凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石食。

究竟苏轼画中确实有100只鸟，还是只有8只鸟呢？原来诗人使用了数论中整数分拆的方法，把100分成两个1，三个4，五个6和七个8之和，含而不露地落实了百鸟图中的“百”字：

1+1+3×4+5×6+7×8=100

可谓匠心独具。

整数的分拆问题，即把一个正整数按某些条件分成若干个正整数之和的问题，是数论和组合论中一个非常活跃的数学分枝，它涉及广泛而艰深的数学理论。著名的“歌德巴赫猜想”也可以看成两个素数之和。整数的分拆也是诗歌中常用的修饰手法。

值得注意的是，古代许多有名诗人在他们的作品中，表达那些不明确的，特别是带有明显的夸张，强烈的感情以及有神秘色彩的大数时，都很喜欢用一些由2，3，5，为质因数乘起来的数字，如：

飞流直下三千尺，疑是银河落九天。（李白）

3000=

日啖荔枝三百颗，不辞长作邻南人。（苏轼）

寓言，是文学作品的重要形式。向来都给人以深刻的启示。寓言中所谓科学寓言一类，它的某些素材就直接取材自数学知识。

有这样一则寓言：古印度的一个宰相，发明了一种“将棋”供国王娱乐。国王为此非常高兴，他让宰相自己提出奖赏什么。宰相要求在他发明的那张有64个方格的棋盘内放些麦粒，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，照此下去，下一格所放的麦粒都比前一格增加一倍。国王不假思索便答应了。第二天，国王的财政大臣气急败坏地跑来报告，他统计了全国的小麦储备，根本无法兑现这笔奖赏。利用等比级数的求和公式可算出宰相要求的麦粒数目是：

根据估算，一立方米的仓库大约可放 粒麦子，而宰相要求的麦粒数是 ，需要 立方米的仓库来储存。如果仓库高4米，宽10米，它的长度需要 千米，约等于地球与太阳之间的距离的两倍，或等于地球赤道长的7000倍。这批小麦的总数，全世界的劳动人民至少要2000年才能生产出来，国王拿什么来兑现呢？

还有一则，一个人到草原上买地，卖主的卖地方式很特别。只要交1000卢布，他可以在一天之内，从太阳出山开始，由草原上的任一点出发，在草原上走到太阳落山，在日落之前，他回到了出发点，那他一天所走的路线所围成的土地，就算他买到的。这个人虽然按时走回原地，但因为体力不支，立刻身亡。他是怎样走的？他先沿一条直线一口气走了10俄里，然后向左拐弯90º，断续前进了2俄里。这时候，他发现天色不早了，他已经走了24.7俄里的路程。于是，他不得不改变前进的方向，直接向出发点跑去。终于在日落之前跑了15俄里。他这一天共跑了42.35公里的路程，围住了约86.72平方公里的土地！他所走的路线是一个直角梯形，这是一种很不合理的走法。懂得几何的人都知道，如果走一个正方形，围成同样多的面积只要走37公里，少走5公里。如果跑一个圆圈，围住同样多的土地，则只需要跑33公里。只相当于他所跑路程的78%，也许还不致于累死！

任何时代，任何国家的文明都可以通过其建筑反映出来。建筑不仅是综合技术的标志，也是精神文明的象征。就如北京内城的建筑结构中，正阳门，天安门，午门，太和殿，景山，鼓楼，钟楼立于长达八公里的南北中轴线上，两旁的宫殿都呈对称分布。太和殿上的九龙宝座也刚好摆放在这条中轴线上。而景山上的万春亭就是北京内城的几何中心。在这里，多少也会表现了皇权至上的实质。

建筑的风格，建筑的审美要求，也是数学思想的反映。

在日常生活中，简单的正则构图可为平面（如墙壁，地板）填充视觉上的空白感。可曾留意，一般用来密铺平面的正则图案。有哪几款？要密铺平面，关键在于每块正则图形在接合于一点时，其内角的整数倍数是否相当于同顶角（在一相同顶点上，全部角的总和等于360º。n边形的内角和=180º×（n-2）。

我们可以作以下的运算：设m 个正n 边形在平面上的一点接合，由于正n 边形的每一个内角是（n –2）× 180º/n =360º 因此得： （n –2）× 180º/n =360º

m(>2)	n	图形
3	6	六边形
4	4	四边形
5	3.5	------
6	3	三角形

化简后得mn-2m-2n+4=4

m(n-2)-2(n-2)=4

(m-2)(n-2)=4→*

根据*，便可把 和 的关系与密铺平面的多边形选择如：

由此可见，以正则图形密铺平面只有三种选择。但这三种基础图形却可演变出其它多姿多彩的图案。所以，铺砌问题一直是数学家和建筑材料商们所感兴趣的问题。

数学并不是冷漠的事实和数据。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也有至高无上的美，正像雕刻中泛着一种严肃的美。从来，生活中的数学对于成年人来说，是很简单，很容易被发现的。我们作为学生，生活在这信息丰富的时代，就更应该将自己所学的科学知识运用到实际生活去，学以致用！

第二篇：研究性学习与数学学科教学整合的实践研究结题报告

《研究性学习与数学学科教学整合的实践研究》结题报告

江苏省如东高级中学  陈唐明