初中数学专题复习---有理数
一、有理数
1、正数和负数的概念
负数:比0小的数;正数:比0大的数;0既不是正数,也不是负数
注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2、具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃
3、0表示的意义
⑴.0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;
⑵.0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。
二、有理数
1.有理数的概念
⑴.正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵.正分数和负分数统称为分数
⑶.正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
⒈数轴的概念:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵.所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小
⑴.在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵.正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶.两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大(小)数
⑴.最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵.最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶.最大的负整数是-1,无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴.a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵.a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
⑶.a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
四、相反数
⒈相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴.相反数是成对出现的;⑵.相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;⑶.0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴.任何数都有相反数,且只有一个;
⑵.0的相反数是0;
⑶.互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴.求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);
⑵.求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);
⑶.求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴.一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
五、绝对值
⒈绝对值的几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴.一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为:
①.如果a>0,那么|a|=a;②.如果a<0,那么|a|=-a;③.如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即:⑴.0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵.一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑶.任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷.绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸.互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹.绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺.若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
4.有理数大小的比较
⑴.利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵.利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a ;②当a≤0时, |a|=-a
6.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
⑶.互为相反数的两数相加,和为零;
⑷.一个数与零相加,仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴.加法交换律:a+b=b+a
⑵.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①.互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②.符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③.分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④.几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤.整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:
⑴.当b>0时,a+b>a;⑵当b<0时,a+b<a;⑶当b=0时,a+b=a
4.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。
七、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·=1(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
注意:①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
八、有理数的乘方
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 中,a 叫做底数,n 叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
九、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。
十、科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式(其中, n是正整数),这种记数法是科学记数法。
十一、典型例题
例1:已知a、b互为相反数且b≠0,c、d互为倒数,m的绝对值是小的正整数,求:m2-的值.
例2:如图,已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c.
(1)化简:|a-b|+|c-b|+|c-a|.
(2)若a=,b=-z2,c=-4mn.且满足x与y互为相反数,z是绝对值最小的负整数,m、n互为倒数,试求98a+99b+100c的值.
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,满足D点表示的整数d到点A,C的距离之和为10,并求出所有这些整数的和.