有理数的概念                                          

本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。本节有配套学习视频。

二、知识要点

1、正数和负数

（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数

(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.

注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 p不是有理数；

(2)有理数的分类:①②

(3)自然数＜====＞0和正整数；a＞0 ＜====＞a是正数；  a＜0 ＜====＞a是负数；

a≥0＜====＞a是正数或0＜====＞a是非负数；        a≤0＜====＞a是负数或0＜====＞a是非正数.

3、数轴【重点】

（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：

① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

4、相反数

（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

① 注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

② 相反数的商为-1；    

③ 相反数的绝对值相等。

（2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。

（3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。

（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。

（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×-3×-1×-5，首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120

5、绝对值

（1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。

（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。

（3）、绝对值可表示为：或；

（4）、；；

（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。

（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。

（7）、有理数比大小：

① 正数比0大，0大于负数，正数大于负数；

② 两个负数比较，绝对值大的反而小；

③ 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（8）、比较两个负数的大小的步骤如下：

① 先求出两个数负数的绝对值；

② 比较两个绝对值的大小；   

③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

三、经验之谈：

本节我们要理解很多的名词概念，希望同学们多读几遍。其次我们还要重点理解正数和负数的关系，以及对绝对值几何意义，还有数轴的画法。总之本节我们要认真学习。

第二篇：有理数及其运算知识点练习

有理数及其运算

（1）负数的应用，有理数的分类

1、负数的意义：引入负数是我们实际的需要，我们通常用正、负来表示一对相反意义的量。Eg1. 上升1m表示为＋1m，则下降2m表示为 。生活中有很多这样的相反的量：前进－后退，向东－向西，等等。 Eg2：“某种机器零件规定其直径误差不得超过?0.8mm”这是什么意思？ 2、 和 统称为有理数。

按数的符号，我们将有理数分为： 有理数注意：有限小数和循环小数都属于有理数。

Eg1.将下列各数填到相应的括号内： －

7.2

，

34

，－9，1.4，0，3.14，?，124

5

，－2.5，20％ 正分数集合：

分数集合：

Eg2. a一定是正数，－a一定是负数吗？回答并举例：

（2）数轴

1、数轴的三要素： 、 、 。在数轴上，右边的数总比左边

的数大。

最小的正整数是 ，最大的负整数是 。

2、△相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。Eg。2和－2，a和－a。 本质：只有符号不同，其它不变。特别的：0的相反数是 。

※ x＋y的相反数是 ，a－b的相反数是

牢记：正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，相反数等于它本身的数是 。3、相反数的代数意义：a>0时，－a 0； a<0时，－a 0； a＝0时，－a 0.（a可以代表任意有理数） 相反数的几何意义： 表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到原点的 相等。

4、会进行符号的化简：eg。－（－2）＝ ；＋[－（＋2）]＝ ；－（x＋y）＝ ；△※（3）绝对值

1、概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的 叫做该数的绝对值。记作： △任何数的绝对值一定 0，即：|a| 0. 2、代数意义：正数的绝对值等于

0的绝对值是 (a<0) 负数的绝对值等于

Eg：绝对值等于本身的数是 ；绝对值等于它的相反数的数是 ； 3、几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离。记作：|a| △绝对值等于正数的数有两个，它们 。 eg。|x|=3,则x＝ 4、利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。Eg。－

45 －56， －58 －57

△※5、绝对值化简：即去绝对值号。把握一个原则：先判断绝对值号内的数的符号，再根据绝对值的代数意义来化简去绝对值号。 Eg。已知x<0,y>0,化简|x-y|+|x|+|y|. (4)有理数的加、减法

有理数的加法法则： 有理数的减法法则： 。a－b＝a＋ 。 有理数的运算律：a＋b＝ ；（a＋b）＋c＝ ；a－（b＋c＋d）＝ 。

一定要注意：运算中，负数一定要加括号。括号外面是减号（负号）时，去括号括号里面的各项都变号。

（5）有理数的乘、除法

有理数的乘法法则：

多个有理数相乘，积的符号由 来决定， 为正， 为负，并把绝对

值 。

乘法运算法则：ab＝ ；(ab)c= ；a(b+c+d)= .

有理数的除法法则：

互为倒数的两个数乘积为 。 除以一个数，等于乘以 。

判断：0除以任何数都得0。 （ ）

(6)有理数的乘方 1、N个相同的数a的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做 幂 。记作an

，其中，a为 ，n为 。 2、正数的任何次幂都是 ；负数的 。 做乘方运算时，一定要注意：分数、和负数的乘方要 ，要明确区分有无括号的不同。 Eg。－243

＝ ； －（24243）＝ ； （－3）＝ 。

3、平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 。 （7）有理数的混合运算 原则：先算乘方，再算乘除，最后加减。有括号时先算括号里面的数。