有理数及其运算

2016.1.27

有理数及其运算知识总结

一、重点知识归纳及讲解

1、正数和负数的概念

　　比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.

　　为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.

　　对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.

2、有理数的概念及分类

　　整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．

　　到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.

　　通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.

3、数轴的概念及画法

　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

　　数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.

画数轴的步骤：

（1）画一条直线，一般画成水平的直线；

（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；

（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；

（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.

4、相反数的概念

　　如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.

　　在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.

　　一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.

　　相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.

5、绝对值的概念

　　在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.

　　正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：

6、绝对值的有关性质

（1）对任意有理数a，都有|a|≥0； （2）若|a|=0，则a=0；

（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；  （4）若|a|=b（b>0），则a=±b；

（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0； （6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.

7、有理数大小的比较法则

　　在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

　　正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数；

　　两个负数，绝对值大的反而小 .

8、有理数加法法则

　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .

　　异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.

　　一个数同 0相加，仍得这个数.

9、有理数加法运算律

　　加法交换律： a＋b=b＋a

　　加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)

10、有理数减法法则

对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

　　减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).

11、代数和的意义

　　几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.

12、有理数加减混合运算步骤

（1）把加减混合运算统一成加法；

（2）写成省略加号、括号的代数和；

（3）利用加法法则及运算律进行计算.

13、有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0．

14、多个非零因数相乘，积的符号规律

n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．

n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

15、有理数乘法的运算律

(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；

(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；

(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b＋c)＝ab＋ac．

16、倒数的概念

乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数．

由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.

倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为．

17、有理数的除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数．

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．

18、利用除法化简分数

除法可以写成几种不同的形式，例如：

6÷3可以写成，还可写成6∶3.

说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.

19、乘方的概念

求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即

在中，a叫做底数，n叫做指数，叫做幂．

的读法有两种：

(1)读作a的n次幂．

(2)读作a的n次方．

20、有理数的乘方法则

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

21、科学记数法

把一个大于10的数记成的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记数法．

22、有理数的混合运算

有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.

有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.

二、难点知识剖析

1、负数的产生及其意义

　　正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .

2、数集的概念

　　把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .

3、多重符号的化简规律

　　单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 .

　　括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .

　　在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .

4、两个负有理数的大小比较

　　两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .

　　两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .

5、有关绝对值的计算及化简

　　灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .

6、积的符号的确定方法

有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.

7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定

几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．

8、有理数混合运算中应注意的问题

（1）要注意运算顺序；

（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；

练习：

一.填空:（除第一题以外，每空1分）

1、把下列各数填在相应的大括号中

8，，0.275，0，，，，

正整数集合{                                   }

整数集合{                                      }

负整数集合{                                       }

正分数集合{                                         }

2、如果向南走5000米记为是-5000米，那么向北走7000米记为是 ____________, 0米的意义是______________。

3、在数轴上与原点距离为4个单位的点是______________。

4、已知p是数轴上的一点-4，把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p点表示的数是______________。

5、的相反数是_______，倒数是_______，绝对值是­­­______.

6、既不是正数也不是负数的数是_________ ，它的相反数是________.

7、最大的负整数是 _________ ，最小的正整数是_________ 。

8、在-中的底数是             ，指数是             .

9、+=               。

10、有一次小明在做点游戏时抽到的四张牌分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请写出一个成功的算式：______________=24.

11、已知，则=__________.

二、选择题: （共20分）

1、在，1.2，-2，0 ，-(-2)中，负数的个数有（  ）

A.2个           B.3个         C.4个         D.5个

2、一个数加上等于，则这个数是（   ）

A．17       B.7              C.-17         D.-7

3、的相反数是（    ）

A．-2      B.2         C.-            D.

4、比较-2.4, -0.5, -(-2) ，-3的大小，下列正确的（     ）。

A．-3 >-2.4 > -(-2)> -0.5    B.-(-2) > -3>-2.4> -0.5

C.-(-2) > -0.5 > -2.4> -3    D. -3> -(-2)>-2.4> -0.5

5、乘积为的两个数叫做互为负倒数，则的负倒数是（  ）

A.-2        B.          C.          D.2

6、一个有理数的相反数和它本身的绝对值的差是以下情形中的（   ）

A.可能是正数  B. 必为负数   C. 必为非正数   D. 必为0

7、则a是（  ）

A.4或-4       B.-4       C.4           D.8或-8

8、ab<0,下列各式成立的是（   ）

A.a=b           B.a<b<0      C.0<a<b       D.a<0<b

9、一个数的绝对值是，则这个数可以是（   ）

A.3            B.-3        C.3或者-3     D.

10、等于（    ）

A．-12      B. 12       C.-64       D.64

三、观察下列算式： ，，，，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：（本题5分）

四、计算:（写过程，共40分）

1、(+26)+(-14)+(-16)+(+8)              2、(-5.3)+(-3.2)-(-2.5)-(+4.8)

3、(-8)×(-25)×(-0.02)                4、 

5、  ;    6、8+;    7、          

8、100.

五、=，=，求m+n.（本题5分）

六、流花河的警戒水位是73.4米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期六）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。（本题10分）

⑴本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？

⑵与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了？

⑶以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。

水位变化（米）

        日   一  二  三  四  五  六     星期

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