数系的扩充和复数概念和公式总结
1.虚数单位:
它的平方等于-1,即
2. 与-1的关系: 就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-
3. 的周期性:4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.复数的定义:形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示 复数通常用字母z表示,即
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;a≠0且b≠0时,z=bi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.
6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
(1)实轴上的点都表示实数
(2)虚轴上的点都表示纯虚数
(3)原点对应的有序实数对为(0,0)
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
8.复数z1与z2的加法运算律:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9.复数z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10.复数z1与z2的乘法运算律:z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
11.复数z1与z2的除法运算律:z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=(分母实数化)
12.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。例如=3+5i与=3-5i互为共轭复数
13. 共轭复数的性质
(1)实数的共轭复数仍然是它本身
(2)
(3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称
14.复数的两种几何意义: 15几个常用结论
(1),(2)
(3), (4)
16.复数的模: (5)
复数的模 (6)