复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法    

4.   乘方           

5.   除法 

6.   复数运算的常用结论

（1）  ，

（2）  ，

（3）  ，

（4）  ， ， ，．

（5）  ，

（6） 

（7）  ，，

四、复数的平方根与立方根

1.   平方根    若，则是的一个平方根，也是的平方根．  （1的平方根是．）

2.   立方根   如果复数、满足，则称是的立方根．

（1）  1的立方根：   ．

，，．         ．

（2）  的立方根： ．

五、复数方程

1.   常见图形的复数方程

（1）  圆：（，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆

（2）  线段的中垂线：（其中分别对应点）

（3）  椭圆： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆

（4）  双曲线： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为的双曲线

2.   实系数方程在复数范围内求根

（1）       求根公式：

（2）       韦达定理：

第二篇：复数知识点

复数  知识点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①      复数—形如a + bi的数（其中）；

②      实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③      虚数—当时的复数a + bi；

④      纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤      复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥      复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

复数是实数的充要条件：

①  z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）；  ②z∈Rz=；  ③Z∈R。

复数是纯虚数的充要条件：

①  z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）；  ②z是纯虚数或0Z+=0；

③z是纯虚数 z²＜0。

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设，则；

；。

加法的几何意义：设_，各与复数z₁，z₂对应，以_，为边的平行四边形的对角线就与z₁+z₂对应。

减法的几何意义：设_，各与复数z₁，z₂对应，则图中向量所对应的复数就是z₂-z₁。 ｜z₁-z₂｜的几何意义是分别与Z₁，Z₂对应的两点间的距离。

3. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

4. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则=a-bi，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身

性质                      ，（a + bi）                                       

（）                             

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

5. ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③ 

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

   

若是1的立方虚数根，即，

则                                                  .

6.  ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.