《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.

(1)纯虚数：对于复数，当时，叫做纯虚数.

(2)两个复数相等：相等的充要条件是.

(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.

(4)复数的模：复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：

（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

  （1）加减运算：；

  （2）乘法运算：；

  （3）除法运算：；

  （4）的幂运算：，，，.

  （5）

3、 规律方法总结

  （1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为

  （2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

  （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.

  （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

 1、基本概念计算类

例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________

解：因为，＝，

又为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。

2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解

证明：原方程化简为设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得    整理得

方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

3、综合类

例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2

（1）   求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）   设，求证：M为纯虚数；

（3）   求的最小值。

解：（1）设z＝a＋bi（a，b）

  因为，是实数，

所以，，即|z|＝1， 因为＝2a，－1<<2，

所以，z的实部的取值范围（－）

（2）＝（这里利用了（1）中）。  因为a（－），，所以M为纯虚数

（3）

 

因为，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，

当a＋1＝，即a＝0时上式取等号，  所以，的最小值是1。

4、创新类

例4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为

⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.

解法一：（解析法）设，故得点，，且＝0，即

从而有＝  故,也即

解法二：（用复数的模）同法一的假设，知

＝＋－2（）＝＋－2×0

＝＋＝＋

由勾股定理的逆定理知

解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有

   故

第二篇：复数知识点总结

复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

5.   除法 

6.   复数运算的常用结论

（1）  ，

（2）  ，

（3）  ，

（4）  ， ， ，．

（5）  ，

（6） 

（7）  ，，

四、复数的平方根与立方根

1.   平方根    若，则是的一个平方根，也是的平方根．  （1的平方根是．）

2.   立方根   如果复数、满足，则称是的立方根．

（1）  1的立方根：   ．

，，．         ．

（2）  的立方根： ．

五、复数方程

1.   常见图形的复数方程

（1）  圆：（，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆

（2）  线段的中垂线：（其中分别对应点）

（3）  椭圆： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆

（4）  双曲线： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为的双曲线

2.   实系数方程在复数范围内求根

（1）       求根公式：

（2）       韦达定理：