复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点      3.复数的向量表示   向量．

4.复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

5.   除法 

6.   复数运算的常用结论

（1）  ，

（2）  ，

（3）  ，

（4）  ， ， ，．

（5）  ，

（6） 

（7）  ，，

四、复数的平方根与立方根

（1）  1的立方根：   ．， ．         ．

第二篇：高考复数知识点精华总结

复  数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① (n为整数)的周期性运算；  ②(1±i)² =±2i；

③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).

（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a²+b².

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i²=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a－bi)= a²+b²

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.

7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解

1．复数的概念

例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？

解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z是实数；  （2）m≠1时，z是虚数；

（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；

（4）当时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。

例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.

解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.

例4．当m为何实数时，复数z＝+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

    解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

    （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，

解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，

解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数．

    诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.

    解：此题主要考查in的周期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005

   =(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i

    ＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）    诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝             .

解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，

∴，解得，∴ m=3.

当m＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ ，∴，∴，

解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

例10．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．

解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．

设x＝ti (t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为

2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，

∴, ∴y=－1, t=－, ∴ x=－i.

2．复数的四则运算

例1．计算：

（1），n∈N+；  

（2）若ω=－+i，ω3=1，计算；

（3）；

（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.

解：（1）=

                  =.

（2）=

                       =－2.

（3）由于, ,

∴ =

                               =8.

（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99

=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)

=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)

=25(－2－2i)=－50－50i.

例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.

解：设z=x+yi, x, y∈R，则

z+=z+，

∵ z+∈R，∴ =0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,

联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，

当y≠0时, , z=1±,

∴ 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－i.

例3．设z为虚数，求证：z+为实数的充要条件是|z|=1.

证明：设z=a+bi (a, b∈R，b≠0)，于是

z+=(a+bi)+,

所以b≠0, (z+)∈Rb－=0a2+b2=1|z|=1.

例4．复数z满足(z+1)(+1)=||2，且为纯虚数，求z.

解：设z=x+yi (x, y∈R)，则

(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴ z++1=0，z+=－1，x=－.

==为纯虚数，

∴  x2+y2－1=0, y=±, ∴ z=－+i或z=－－i.

例5．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.

解：设z=x+yi (x, y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi) =4－34i，

整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.

∴ , 解得, ∴ z=4+i.

例6．设z是虚数，ω=z+是实数，且－1<ω<2，

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证u为 纯虚数；

（3）求ω－u2的最小值。

解：（1）设z=a+bi (a, b∈R, b≠0)，则

ω=，由于ω是实数且b≠0，∴ a2+b2=1，

即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z的实部a的的取值范围是(－, 1).

（2）u==，由于a∈(－, 1), b≠0，

∴ u是纯虚数。

（3）ω－u2=2a+

          =,

由于a∈(－, 1)，∴ a+1>0，则ω－u2≥2×2－3=1，

当a+1=, 即a=0时，上式取等号，所以ω－u2的最小值为1.

例7．证明：＝1．

    解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等．

    设z＝a＋bi，(a, b∈R)，则

    =.

    解2：∵ ，∴ =.