复  数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① (n为整数)的周期性运算；  ②(1±i)² =±2i；

③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).

（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a²+b².

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i²=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a－bi)= a²+b²

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.

7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解

1．复数的概念

例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？

解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z是实数；  （2）m≠1时，z是虚数；

（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；

（4）当时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。

例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.

解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.

例4．当m为何实数时，复数z＝+(m2+3m－10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

    解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

    （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，

解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，

解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数．

    诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.

    解：此题主要考查in的周期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005

   =(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i

    ＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）    诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝             .

解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，

∴，解得，∴ m=3.

当m＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且 ，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ ，∴，∴，

解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

例10．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值．

解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．

设x＝ti (t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为

2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，

∴, ∴y=－1, t=－, ∴ x=－i.

1．已知复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.

解：设z=x+yi, x, y∈R，则

z+=z+，

∵ z+∈R，∴ =0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,

联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，

当y≠0时, , z=1±,

∴ 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－i.

2．复数z满足(z+1)(+1)=||2，且为纯虚数，求z.

解：设z=x+yi (x, y∈R)，则

(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴ z++1=0，z+=－1，x=－.

==为纯虚数，

∴  x2+y2－1=0, y=±, ∴ z=－+i或z=－－i.

3．复数z满足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.

解：设z=x+yi (x, y∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi) =4－34i，

整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.

∴ , 解得, ∴ z=4+i.

第二篇：20xx年新人教版二年级数学下册知识点复习总结

20xx年新人教版二年级数学下册知识点复习总结

第一单元 数据收集整理

1、用画“正”字的方法收集数据。

2、用统计图表来表示数据的情况。

3、根据统计图表可以做出一些判断。

4、数据收集---整理---分析表格。

第二单元 表内除法（一）

一、平均分

1、平均分的含义：把一些物品分成几份，每份分得同样多，叫平均分。

2、平均分的方法：

（1）把一些物品按指定的份数进行平均分时，可以一个一个的分，也可以几个几个的分，直到分完为止。

（2）把一些物品按每几个一份平均分，分时可以想：这个数可以分成几个这样的一份。

二、除法

1、除法算式的含义：只要是平均分的过程，就可以用除法算式表示。

2、除法算式的读法：通常按照从前往后顺序读，“÷”读作除以，“=”读作等于，其他读法不变。

3、除法算式各部分的名称：在除法算式中，除号前面的数就被除数，除号后面的数叫除数，所得的数叫商。

三、用2~6的乘法口诀求商

1、求商的方法：

（1）用平均分的方法求商。

（2）用乘法算式求商。

（3）用乘法口诀求商。

2、用乘法口诀求商时，想除数和几相乘的被除数。

四、解决问题

1、解决有关平均分问题的方法：

总数÷每份数=份数、总数÷份数=每份数、被除数=商×除数、

被除数=商×除数+余数、除数=被除数÷商、因数×因数=积、

一个因数=积÷另一个因数

2、用乘法和除法两步计算解决实际问题的方法：

（1）所求问题要求求出总数，用乘法计算；

（2）所求问题要求求出份数或每份数，用除法计算。

第三单元 图形的运动（一）

1、轴对称图形：沿一条直线对折，两边完全重合。对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，折痕所在的直线叫对称轴。

成轴对称图形的汉字： 一，二，三，四，六，八，十，大，干，丰，土，士，中，田，由，甲，申，口，日，曰，木，目，森，谷，林，画，伞，王，人，非，菲，天，典，奠，旱，春，

亩，目，山，单，杀，美，春，品，工，天，网，回，喜，莫，罪，夫，黑，里，亚。

2、平移：当物体水平方向或竖直方向运动，并且物体的方向不发生改变，这种运动是平移。只有形状、大小、方向完全相同的图形通过平移才能互相重合。

3、旋转：物体绕着某一点或轴进行圆周运动的现象就是旋转。

第四单元 表内除法（二）

一、用7、8、9的乘法口诀求商

求商方法：想“除数×（ ）=被除数”，再根据乘法口诀计算得商。

二、解决问题

求一个数里有几个几，和把一个数平均分成几份，求每份是多少，都用除法计算。

第五单元 混合计算

一、混合计算

混合运算，先乘除，后加减，有括号的要先算括号里面的。只有加、减法或只有乘、除法，都要从左到右按顺序计算。

二、解决两步计算的实际问题

1、想好先解决什么问题，再解决什么问题。

2、可以画图帮助分析。

3、可以分布计算，也可以列综合算式。

第六单元 有余数的除法

一、有余数的除法

1、有余数的除法的意义：在平均分一些物体时，有时会有剩余。

2、余数与除数的关系：在有余数的除法中，余数必须比除数小。最大的余数小于除数1，最小的余数是1。

3、笔算除法的计算方法：

（1）先写除号“厂”

（2）被除数写在除号里，除数写在除号的左侧。

（3）试商，商写在被除数上面，并要对着被除数的个位。

（4）把商与除数的乘积写在被除数的下面，相同数位要对齐。

（5）用被除数减去商与除数的乘积，如果没有剩余，就表示能除尽。

4、有余数的除法的计算方法可以分四步进行：一商，二乘，三减，四比。

（1）商：即试商，想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数，那么商就是几，写在被除数的个位的上面。

（2）乘：把除数和商相乘，将得数写在被除数下面。

（3）减：用被除数减去商与除数的乘积，所得的差写在横线的下面。

（4）比：将余数与除数比一比，余数必须必除数小。

二、解决问题

根据除法的意义，解决简单的有余数的除法的问题，要根据实际情况，灵活处理余数。

第七单元 万以内数的认识

一、1000以内数的认识1、10个一百就是一千。

2、读数时，要从高位读起。百位上是几就几百，十位上几就几十，个位上是几就读几中间有一个0，就读“零”，末尾不管有几个0，都不读。

3、写数时，要从高位写起，几个百就在百位写几，几个十就在十位写几，几个一就在个位写几，哪一位上一个数也没有就写0占位。

4、数的组成：看每个数位上是几，就由几个这样的计数单位组成。

二、10000以内数的认识

1、10个一千是一万。

2、万以内数的读法和写法与1000以内的数读法和写法相同。

3、最小两位数是10,最大的两位数是99; 最小三位数是100,最大的三位数是999；最小四位数是1000,最大的四位数是9999；最小的五位数是10000,最大的五位数是99999。

三、整百、整千数加减法

1、整百、整千加减法的计算方法。

（1）把整百、整千数看成几个百，几个千，然后相加减。

（2）先把0前面的数相加减，再在得数末尾添上与整百、整千数相同个数的0。

2、估算

把数看做它的近似数再计算。

第8单元 克和千克

克和千克是国际上通用的质量单位。计量较轻的物品的质量时，通常用“克”；计量较重的物品质量时，通常用“千克”作单位。

1千克=1000克、1千克=1公斤、1公斤=2斤、1斤=500克、

1斤=10两、1两=50克

估计物品有多重，要结合物品的大小、质地等因素。

第九单元 数学广角

推理时，先根据条件确定必然情况，再用排除法确定其他情况。