主要公式总结
第八章 空间解析几何与向量代数
1、 二次曲面
1) 椭圆锥面:
2) 椭球面: 旋转椭球面:
3) 单叶双曲面: 双叶双曲面:
4) 椭圆抛物面: 双曲抛物面(马鞍面):
5) 椭圆柱面: 双曲柱面:
6) 抛物柱面:
(二) 平面及其方程
1、 点法式方程:
法向量:,过点
2、 一般式方程:
截距式方程:
3、 两平面的夹角:,,
;
4、 点到平面的距离:
(三) 空间直线及其方程
1、 一般式方程:
2、 对称式(点向式)方程:
方向向量:,过点
3、 两直线的夹角:,,
;
4、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,
;
第九章 多元函数微分法及其应用
1、 连续:
2、 偏导数:
;
3、 方向导数:
其中为的方向角。
4、 梯度:,则。
5、 全微分:设,则
(一) 性质
1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
2、 微分法
1) 复合函数求导:链式法则
若,则
,
(二) 应用
1) 求函数的极值 解方程组 求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
① 若,,函数有极小值, 若,,函数有极大值;
② 若,函数没有极值;
③ 若,不定。
2、 几何应用
1) 曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
2) 曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章 重积分
(一) 二重积分 :几何意义:曲顶柱体的体积
1、 定义:
2、 计算:
1) 直角坐标
,
,
2) 极坐标
,
(二) 三重积分
1、 定义:
2、 计算:
1) 直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
2) 柱面坐标
,
3) 球面坐标
(三) 应用
曲面的面积:
第十一章 曲线积分与曲面积分
(一) 对弧长的曲线积分
1、 定义:
2、 计算:
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则
(二) 对坐标的曲线积分
1、 定义:设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数,在 L 上有界,定义,.
向量形式:
2、 计算:
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
,其中在上具有一阶连续导数,且,则
3、 两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,
,,
则.
(三) 格林公式
1、 格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数在D 上具有连续一阶偏导数,
则有
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,
则 曲线积分在内与路径无关
(四) 对面积的曲面积分
1、 定义:
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
定义
2、 计算:———“一单二投三代入”
,,则
(五) 对坐标的曲面积分
1、 定义:
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义 同理,
;
2、 性质:
1),则
计算:——“一投二代三定号”
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“ + ”, 为下侧取“ - ”.
3、 两类曲面积分之间的关系:
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
(六) 高斯公式
1、 高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数,则有
或
2、 通量与散度
通量:向量场通过曲面指定侧的通量为:
散度:
(七) 斯托克斯公式
1、 斯托克斯公式:设光滑曲面 S的边界 G是分段光滑曲线, S的侧与 G的正向符合右手法则, 在包含å在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
2、 环流量与旋度
环流量:向量场沿着有向闭曲线G的环流量为
旋度:
第十二章 无穷级数
(一) 常数项级数
1、 定义:
1)无穷级数:
部分和:,
正项级数:,
交错级数:,
2)级数收敛:若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:收敛,而发散;
绝对收敛:收敛。
2、 性质:
1) 改变有限项不影响级数的收敛性;
2) 级数,收敛,则收敛;
3) 级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
4) 必要条件:级数收敛.(注意:不是充分条件!)
3、 审敛法
正项级数:,
1) 定义:存在;
2) 收敛有界;
3) 比较审敛法:,为正项级数,且
若收敛,则收敛;若发散,则发散.
4) 比较法的推论:,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
5) 比较法的极限形式:,为正项级数,若,而收敛,则收敛;若或,而发散,则发散.
6) 比值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
7) 根值法:为正项级数,设,则当时,级数收敛;则当时,级数发散;当时,级数可能收敛也可能发散.
8) 极限审敛法:为正项级数,若或,则级数发散;若存在,使得,则级数收敛.
交错级数:
莱布尼茨审敛法:交错级数:,满足:,且,则级数收敛。
任意项级数:
绝对收敛,则收敛。
常见典型级数:几何级数: ; p -级数:
(二) 函数项级数
1、 定义:函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;
2、 幂级数:
3、 收敛半径的求法:,则收敛半径
4、 泰勒级数
展开步骤:(直接展开法)
1) 求出;
2) 求出;
3) 写出;
4) 验证是否成立。
间接展开法:(利用已知函数的展开式)
1);
2);
3);
4);
5)
6)
7)
8)
5、 傅里叶级数
1) 定义:
正交系:函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。
傅里叶级数:
系数:
2) 收敛定理:(展开定理)
设 f (x) 是周期为2p的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
3) 傅里叶展开:
①求出系数:;
②写出傅里叶级数;
③根据收敛定理判定收敛性。