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高等数学（上）重要知识点归纳

第一章 函数、极限与连续

一、极限的定义与性质

1、定义（以数列为例）

limxn?a????0,?N,当n?N时，|xn?a|?? n??

2、性质

f(x)?A?f(x)?A??(x)，其中?(x)为某一个无穷小。 (1) limx?x0

f(x)?A?0，则???0,当x?U(x0,?)时，(2)(保号性）若limx?x0o

f(x)?0。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具

1、*两个重要极限公式 (1)lim??0sin?1?1 (2)lim(1?)??e ?????

2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则

3、*等价无穷小替换法

常用替换：当??0时

（1)sin?~? （2）tan?~?

（3）arcsin?~? （4)arctan?~?

（5）ln(1??)~? （6）e??1~?

（7）1?cos?~?2 （8）???1~

12? n

2

4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义

三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价

四、连续与间断点的分类

1、连续的定义*

f(x)在a点连续

?lim?y?0?limf(x)?f(a)?f(a?)?f(a?)?f(a) ?x?0x?a

??可去型（极限存在）第一类???跳跃型（左右极限存在但不相等）??2、间断点的分类? ?无穷型（极限为无穷大）

?第二类?震荡型（来回波动）???其他???

3、曲线的渐近线*

(1)水平渐近线：若limf(x)?A,则存在渐近线：y?Ax??

(2)铅直渐近线：若limf(x)??,则存在渐近线：x?ax?a

五、闭区间连续函数性质

1、最大值与最小值定理

2、介值定理和零点定理

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第二章 导数与微分

一、导数的概念

1、导数的定义*

y?|x?a?f?(a)?dy?yf(a??x)?f(a)f(x)?f(a) |x?a?lim?lim?lim?x?0?x?0x?adx?x?xx?a

2、左右导数 左导数f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a) ?limx?a?xx?a?

右导数f??(a)??limx?0??yf(x)?f(a) ?limx?a?xx?a?

3、导数的几何意义*

y?|x?a?曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k

4、导数的物理意义

若运动方程：s?s(t)则s?(t)?v(t)(速度）,s??(t)?v?(t)?a(t)(加速度）

5、可导与连续的关系: 可导?连续，反之不然。

二、导数的运算

1、四则运算 (u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv? ()??u

vu?v?uv? 2v

dydydu?u?2、复合函数求导 设y?f[?(x)]，一定条件下? ?yuxdxdudx

3、反函数求导 设y?f(x)和x?f?1(y)互为反函数，一定条件下：y?x?1 x?y

4、求导基本公式*（要熟记）

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5、隐函数求导* 方法：在F(x,y)?0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y?

?x?x(t)6、参数方程确定函数的求导* 设?，一定条件下?y?y(t)

y?(t)?t?dyyt?dy?yt??xt??yt?xt??xxt??（可以不记） y???,y???xx3dxxt?dxxt?(xt?)

7、常用的高阶导数公式

（1）sin(n)x?sin(x??),(n?0,1,2...)

n（2）cosx?cos(x??),(n?0,1,2...) 2(n)n2

（3）ln(1?x)?(?1)(n)n?1(n?1)!,(n?12...) n(1?x)

1n(?1)nn!)?,(n?0,1,2...) （4）(n?11?x(1?x)

（5）（莱布尼茨公式）(uv)??Cnku(n?k)v(k) (n)k?0n

三、微分的概念与运算

1、微分定义 *

若?y?A?x?o(?x)，则y?f(x)可微，记dy?A?x?Adx

2、公式：dy?f?(x)?x?f?(x)dx

3、可微与可导的关系* 两者等价

4、近似计算 当|?x|较小时，?y?dy，f(x)?f(x??x)?f?(x)?x

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第三章 导数的应用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*

(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续

(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导

（3）g(x)?0,则：

f?(?)f(b)?f(a)???（a,b),?g?(?)g(b)?g(a)

当取g(x)?x时，定理演变成：

2、拉格朗日中值定理*

???（a,b),使得：f?(?)?f(b)?f(a)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) b?a

当加上条件f(a)?f(b)则演变成：

3、罗尔定理* ???（a,b),使得：f?(?)?0

4、泰勒中值定理

在一定条件下：

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n?Rn(x) n!

f(n?1)(?)(x?x0)n?1?o((x?x0)n),?介于x0、x之间. 其中Rn(x)?(n?1)!

当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.

当x0?0时，公式变成:

f(n)(0)n5、麦克劳林公式 f(x)?f(0)?f?(0)x?...?x?Rn(x) n!

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6、常用麦克劳林展开式

x21n（1）e?1?x??...?x?o(xn) 2!n!x

x3x5(?1)n?1

2n?1x?o(x2n) （2）sinx?x??...?3!5!(2n?1)!

x2x4(?1)n

2nx?o(x2n?1) （3）cosx?1??...?2!4!(2n)!

x2x3(?1)n?1

n（4）ln(1?x)?x??...?x?o(xn) 23n

二、罗比达法则*

记住：法则仅能对,型直接用，对于0??,???,1?,00,?0,转化后用. 幂指函数恒等式*fg?eglnf

三、单调性判别*

1、y??0?y?, y??0?y?

2、单调区间分界点：驻点和不可导点.

四、极值求法*

1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.

2、求出可疑点后再加以判别.

3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.

4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.

五、闭区间最值求法*

找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小. 0?0?

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六、凹凸性与拐点*

1、y???0?y?,y???0?y?

2、拐点：曲线上凹凸分界点(x0,y0). 横坐标x0不外乎f??(x0)?0,或f??(x0)不存在，找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号.

七、曲率与曲率半径

1、曲率公式K?|y??|

(1?y?2)

12、曲率半径R? K32

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第四章 不定积分

一、不定积分的概念*

若在区间I上，F?(x)?f(x),亦dF(x)?f(x)dx，

则称F(x)为f(x)的原函数.

称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为?f(x)dx.

二、微分与积分的互逆关系

1、[?f(x)dx]??f(x)?d?f(x)dx?f(x)dx

2、?f?(x)dx?f(x)?c??df(x)?f(x)?c

三、积分法*

1、凑微分法*

2、第二类换元法

3、分部积分法* ?udv?uv??vdu

4、常用的基本积分公式(要熟记).

第五章 定积分

一、定积分的定义 ?af(x)dx?limf(?i)?xi ??x?0i?1

二、可积的必要条件 有界.

三、可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单调.

四、几何意义 定积分等于面积的代数和.

bn

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五、主要性质*

1、可加性 ?a??a??c

2、估值 在[a,b]上，m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)

3、积分中值定理*

当f(x)在[a,b]上连续时：?af(x)dx?f(?)(b?a),??[a,b]

4、函数平均值：?b

abcbbbf(x)dx

b?a

六、变上限积分函数*

1、若f(x)在[a,b]连续，则F(x)??af(t)dt可导，且[?af(t)dt]??f(x) 2、若f(x)在[a,b]连续，?(x)可导，则：[?a

七、牛-莱公式*

若f(x)在[a,b]连续，则?af(x)dx?[?f(x)dx]|b?F(b)?F(a) axx?（x）f(t)dt]??f[?(x)]??(x) b

八、定积分的积分法*

1、换元法 牢记：换元同时要换限

2、分部积分法 ?audv?uv|??avdu babb

3、特殊积分

（1）??aa??0,当f(x)为奇函数时f(x)dx??a ??2?0f(x)dx,当f(x)为偶函数时

（2）当f(x)为周期为T的周期函数时： ?aa?nTf(x)dx?n?0f(x)dx,n?Z?

?T（3）一定条件下:?0xf(sinx)dx??0f(sinx)dx 2??

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?(n?1)!!，n是正奇数时????（4）?02sinnxdx??02cosnxdx??n! ?(n?1)!!?，n是正偶数时?!2?n！

（5）?0sinxdx?2?02sinnxdx n??

九、反常积分*

1、无穷区间上

???

a? 其他类似 f(x)dx?lim?af(t)dt?F(x)|?a?F(??)?F(a)x???

??x2、p积分：?a?p?1时收敛1 dx(a?0):?px?p?1时发散

3、瑕积分：若a为瑕点：

b?则?af(x)dx?limf(t)dt?F(x)|?F(b)?F(a) 其他类似处理 ?ax?ax??bb

第六章 定积分应用

一、几何应用

1、面积

（1）A??（y上-y下）dxa

A??（x右-x左）dyabb

??x?x(t),(??t??),则A???|y(t)x?(t)|dt （2）C:??y?y(t)

C:???(?),与???，???，（?????)围成图形面积

（3）1?2A????（?）d?2

2、体积*

（1）旋转体体积*Vx???ay2dx Vy???cx2dy 或Vy?2??axydx

（2）截面面积为A?A(x)的立体体积为V??aA(x)dx

bbdb

11

3、弧长

（1）s??a?y?2dx(a?x?b)

（2）s???x?2(t)?y?2(t)dt,(??t??)

（3）s????2???2d?,(?????)

二、物理应用

1、变力作功

一般地：先求功元素：再积分w??aF(x)dx dw?F(x)dx,x?[a,b]，克服重力作功的功元素dw=体积???g?位移

2、水压力

dP=水深?面积???g

第七章 微分方程

一、可分离变量的微分方程 dy形式：?f(x)g(y) dxbb??

二、一阶线性微分方程*

1、线性齐次：y??p(x)y?0

通解公式*：y?Ce?p(x)dx?

2、线性非齐次 y??p(x)y?q(x)

通解公式*：y?e?

?p(x)dxp(x)dx?[?eq(x)dx?C)

第二篇：高等数学(上册)重要知识点

一章函数与极限

1. 集合与函数

  1.1 集合的概念

      具有某种特定性质的事物的的全体。

      全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N。

      全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为。

      全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z).

      全体实数构成的集合R.

   1.2基本初等函数和初等函数

      反对幂指三是基本初等函数.

      将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的

      且能用一个式子表示的函数称为初等函数.

   1.3极坐标与直角坐标系的关系

                      

1.4几种特殊性质的函数

    (1)有界函数

      F(x)在x上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对任意x属于X.这时称风f(x)在x上有一个界.

    (2)奇偶函数

     F (x)=f(-x),称为偶函数.

     F (-x)=-f(x),称为奇函数.

   (3)周期函数

     f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L为f(x)的最小正周期.

2.极限

   2.1数列极限的定义

   设有数列{},若存在常数a，对任意给定的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，恒有| -a |<ε成立，则数列{}以a为极限。记作:

    , 或  ().

    此时称数列收敛于常数a，或简称数列收敛.反之数列没有极限，或称它为发散.

 2.2数列极限的性质

    (1)（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限必唯一.

    (2)（有界性）收敛数列必定有界.

    (3)（保号性）设有数列，分别收敛于a,b,并且b>a,那么存在 

        正整数 N，当n>N时，恒有>.

    (4) 设有数列，分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ

         时，恒有，那么

   （5）数列}收敛于a的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于 

        a.

  2.3函数极限

    （1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使

    对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－｜＜δ时，恒有

    ｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当时，ｆ（ｘ）以Ａ  

     为极限．记作：

　　＝Ａ或，当．

（２）函数极限的性质

　　１.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。

　　２.（局部有界性）如果存在，那么存在常数ｍ，Ｍ和δ＞０，使 

        得当０＜｜ｘ－｜＜δ时，恒有

　　　　ｍ≦ｆ（ｘ）≦Ｍ．

　　３．局部保号性

　　４.如果函数在的某去心邻域有定义并且＝Ａ．如果是一个在该去心领域取值的数列，（ｎ＝１,2,....)且则有

        ＝Ａ．

　　５．如果，＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，使得当０＜｜ｘ－｜＜δ，有，那么ＡＢ。

３极限存在的准则与两个重要极限

  ３.１（夹逼准则）设数列，，满足

        （１）从某一项起，即存在正整数，当ｎ＞时，恒有

             ≦≦；

        （２）．那么

＝ａ

   ３.２ 单调有界数列必有界限。

   ３.３ 两个重要的极限

     

４　无穷小量与无穷大量

　 ４.１ 在自变量的某一变化过程中，ｆ（ｘ）＝Ａ的充分必有条件是

         ｆ（ｘ）＝Ａ＋φ，其中φ是在自变量同一变化过程中的无穷小。

    4.2   无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。

    4.3设α,β为同一过程下的无穷小，且α≠0.如果

          ，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)（这时也称α是比β低阶的无穷小）；

             ,称ɑ与β是同阶无穷小；

             ，称ɑ与β是等价无穷小，记作α~β；

             ，称是β关于α的k阶无穷小（其中k是正实数）。

         4.4无穷小量与无穷大量是倒数关系。

         4.5几组无穷小等价

             ~x             

             

         注意：利用等价无穷小代换时必须将一个因式“整体”     

         作代换。

5  函数的连续性及间断点

   5.1设函数点的某领域内有定义，若

      ，或

      ，则称函数在点连续。

       若称在点右连续；若，则称   

       在点左连续；

   5.2 在点连续在点既右连续又左连续。

   5.3 若函数在区间上每一点处都连续，称函数在该区间连续。

      注意：如果区间包括端点，那么在端点讨论函数的连续性只能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。

   5.4 函数在点连续必须满足三个条件：

     （1）在点有定义；

     （2）在时，有极限；

     （3）极限的值等于。

   5.5两类间断点

    极限存在的是第一类间断点，反之，为第二类间断点。

6  连续函数的性质与初等函数的连续性

  6.1若函数，在点皆连续，那么函数     

      ,,()在点也是连续的。

  6.2 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那         

      么它的反函数在对应的区间上单调增

      加（或单调减少）且连续。

  6.3 设函数是由函数与函数复合而成，并且在  

      的某领域内有定义。若

（1）函数在点连续，且；

（2）函数在点连续

 则复合函数在点也连续，既有

    

   6.4 设有复合函数，函数在点的某去心领域内有定义且 

      ，而函数f在点连续则有

          。

    6.5 三个等价无穷小(当时)

                       

     6.6 基本初等函数在其定义域内是连续的。

         一切初等函数在其定义域内都是连续的。

     6.7 闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小 

         值。

     6.8 介值定理

         设函数在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两端点处分别取值

         A,B（A≠B,那么,对A,B之间的任意一个数C，在该区间（a,b)内至少存 

         在一点§使得

            

     6.9 零点定理

        设函数在闭区间上连续且和异号（即

         ）那么在开区间内至少存在一点使得

            

        通常把满足方程的x的值§称作函数的零点.

     第二章   一元函数微分学

1  函数的导数的概念

 1.1设函数在点的某领域内有定义，当自变量在获得增

  量（点仍在内）时，相应的函数值有一个增量

  ，如果极限

  存在，则称在点可导，并称该极

   限

  值为在点处的导数（微商），记作。即

       。

1.2导数的几何意义

   若函数在点处可导，那么曲线在点处有切

    线，并且导数就是该切线的斜率。

1.3单侧导数

若单侧极限存在，称该单侧极限为在点的

右导数，记作；类似地，称

  

为在点的左导数，记作。

左导数和右导数统称为单侧导数。

在点可导在点的左导数和右导数都存在，并且相

等。

1.4导函数

   （1）若函数在开区间内可导，在区间的端点处有相应的单侧导数，则函数        

    在该区间上可导。

   （2）如果函数在某区间可导那么对于任意一点都对应一个确定

的导数值，这就得到了区间的一个函数，称为在区间上的导

函数，记作或。

1.5可到与连续之间的关系

  （1）若函数在点可导，那么它在点必连续

1.6原函数

  （1）设在区间上，有，则称函数为函数在区间上

   的原函数。

  （2）若函数为函数在区间上的原函数，那么函数（为

任意常数）都是在区间上的原函数。

2  函数的微分

 2.1设函数在点的某领域内有定义,在点给一增量

 （仍属于该领域）。如果存在不依赖于的常数，使得相应的函数

   值的增量能表示为

     ，

   则称在点可微（分），并称为在点的微分， 

   记作即

               。

2.2可导与可微的关系

   函数在一点可导与可微是等价的。二者不加区别。

2.3可微与连续的关系

 若函数在点可微，那么它在点必连续 。

2.4微分的几何意义

   给自变量一个增量，那么纵坐标有一个增量（函数的微分）

   

3 函数的求导法则

  3.1函数在内可导，那么，他们的和、差、积、商（分母不为零）在

   内也可导。

  3.2反函数的求导法则

    若函数在区间内单调、可导且，则的反函数

   存在且在区间内也可导，而且有

或。

简言之：一个可导函数的反函数也可导，其导数等于该函数的导数的倒数。

3.3复合函数的导数

  设函数在点处可导，而在对应的点处可导。则复合函数在点可导，并且或写成。

3.4微分形式不变性

   对函数来说，不论是自变量还是中间变量，微分公式

   都是成立的。

3.5常见的初等函数的导数和微分公式

     (1)                           

     (2),                    

     (3),                   

     (4)                   

     (5),                 

     (6),               

     (7)                     

     (8),             

     (9),                        

     (10),                        

     (11),                 

     (12),                     

     (13),        

     (14),     

     (15),        

     (16),      

     (17),             

     (18),              

 4 高阶导数

  二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

  莱布尼兹公式

形象记忆;将两个函数和的n次幂按二项式定理展开为：

把换成，然后再将K次幂换成k阶导数(简言之，加换乘，乘幂换导数)。

   5.  隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

      直接求导，利用微分形式不变性和复合函数求导法则。

     第三章微分中值定理与导数的应用

   1 微分中值定理

1.1函数的级值

  函数的极大值和极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值 

  点。

1.2费马引理

  设函数在点处取得极值，并且在点处可导。那么

    。

  通常称导数等于零的点为函数的驻点。

1.3罗尔定理

   若函数满足：

  （1）在闭区间上连续；

      （2）在开区间上可导；

      （3）。

          则至少存在一点，使得

                  

1.4拉格朗日中值定理

   设函数满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导

   则至少存在一点，使得

           。

   推论：函数在区间上的导数恒为零的充分必要条件是在上恒为 

         常数。

1.5原函数的一般表示式

   如果为在区间上的一个原函数，那么不仅是的原函 

   数，而且它是在区间上的所有原函数，其中为任意常数。

   或说，的全体原函数可以用函数簇

               {| C为任意常数 }

1.6柯西中值定理

   设函数，满足

  （1）在区间上连续（2）在区间内可导（3）对任意，

      那么至少存在一点使得。

2 洛必达法则

 2.1型不定式

   设函数，在内皆可导，；并且

（1）；

（2）存在（或为）；那么

          。

注意:

  (1)先验证所讨论的式子是不定式，否则不能用洛必达法则。

 （2）若仍为不定式，且满足定理的条件，可以对它继续使用洛必达

      法则。

 （3）洛必达法则与等价无穷小代换、初等恒等变形等技巧结合起来使用

  （4）当不存在时，并不是说也一定不存在（如： 

       ，）

2.2型不定式

  设，在内皆可导，，并且

（1）；

（2）存在（或为）则有

      

       。

2.3其他类型的不定式

   将他们转换为基本类型，在用洛必达法则。

3  泰勒中值定理

  3.1泰勒多项式

     若在点处N阶可导，称

     的多项式为函数在点的（n次）泰勒多项式。

3.2 泰勒中值定理

  若函数在点的某领域内有阶导数，所示的在点的泰勒多项式，那么对任意的,有

            或

其中

  

（介于与之间）。

或。

上述的称作余项。分别为拉格朗日型余项和佩亚诺余项。

3.3泰勒中值定理的补充

  拉格朗日中值公式是泰勒公式的特例，即只有一阶导数。

  取泰勒公式变成

的麦克劳林公式

3.4几个初等函数的麦克劳林公式

     。

   （0,1，-1,0的循环）。

  

    （也是类似的循环） 。

   。

 。

4 利用导数研究函数（一）

   4.1函数的单调性的判别方法

设函数在区间上连续，在内可导

（1）若对任意的，，那么在区间上单调增加。

（2）若对任意的，，那么在区间上单调递减。

推论：如果函数在区间上连续在区间可导则

（1）在内若，且等号只在有限个点处成立，那么在区

         间单调增加。

（2）在内若，且等号只在有限个点处成立，那么在区

         间上单调减少。

 4.2  函数极值的求法

   （极值存在的必要条件）设函数在点可导并且取得极值，那么必

    是的驻点即有

     驻点不一定是极值点。

     这就是说，函数的极值点可以分为两类：驻点和不可导点；但驻点和不可 

    导点都未必一定是函数的极值点。

4.3极值存在的充分条件

  （第一充分条件)设函数在处连续，并且在的去心领域

   内可导，则有

  （1）当时，；而当时，；那

      么在处取得极大值

   （2）若时，；而当时，；那

       么在处取得极小值

       总之：如果连续的函数在其驻点或不可导点的两侧导数存在且异号，那么 

           该点是函数的极值点  。

 （第二充分条件）设函数在内可导，在处二阶可导，，并且那么

（1）当时，函数 在处取得最大值；

（2）当时，函数在处取得极小值。

注：在，不能断定是否为函数的极值点。

4.4函数最值的求法

  （1）求导找出函数的驻点以及不可导点；

  （2）求驻点、不可导点及区间端点处的函数值；

  （3）比较值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

5 利用导数研究函数（二）

  5.1曲线的凹凸性与拐点

设函数在区间上连续，如果对于上的任意两点，，恒有

则称曲线在区间上是凹的，区间称为曲线的凹区间。

如果对于上的任意两点，，恒有

。

则称曲线在区间是凸的，区间称为曲线的凸区间。

5.2设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导。则

（1）若对于任意的，都有，那么曲线在上

         是凹的；

（2）若对于任意的，都有，那么曲线在上  

       是凸的。

   5.3曲线的拐点

     若函数在点连续，在点两侧曲线有不同的凹凸性，

     则称点为曲线的拐点。

  5.4函数图形的渐近线

一般的，若（或从的一侧趋于时），则称直

线为曲线的铅直渐近线；若（或仅趋于时

或时，）则称直线为曲线的水平渐近线。

当（或趋于或）时，点与直线的距离趋于零；

称直线为曲线的斜渐近线。

一般描绘图形的步骤：

（1）考察函数的定义域、奇偶性、周期性。

（2）求出函数的一阶导数，利用它确定函数的单调区间和极值；

（3）求出函数的二阶导数和极值，并利用它确定出曲线的凹凸区间和拐点；

（4）考察曲线的渐近线；

（5）描绘特殊点。

6 曲率

 

       第四章   不定积分

第一节不定积分的概念和性质

 1.1 函数在区间上的所有原函数的表示式称为的不定积分，记作：

           

     其中，称作积分符号，称为被积函数，称作积分表达式，称

     为积分变量。

1.2基本不定积分表

  (1),       (2)

(3),     (4)

(5),      (6)

(7),     (8)

(9),  (10)

(11)()(12)

(13),    (14)

1.3不定积分的性质

 （1）  设，的原函数都存在，则

       。

 （2）设的原函数存在，k为非零实数，则

       

第二节  不定积分的换元法（一）

     2.1凑微分积分法

       设具有原函数，并且可导，那么

       。

    2.2积分表的补充

   （1）   （2）

   （3）         （4）

   （5）  （6）

  （7）。

第三节  不定积分的换元法（二）

 3.1第二换元法

   设是单调的可导函数，并且，又具有原

   函数，则有

   ，

其中是的反函数。

3.2三角换元

3.3根号代换

3.4万能代换

                       

3.5倒代换

3.6积分表补充

   （1）。

（2）。

（3）。

第四节  不定积分的分部积分

    设u,v是两个可微的函数则

       。

   记注：反对幂指三。

第五章  定积分及其应用

第一节定积分的概念和性质

 1.1设是定义在区间上的有界函数，（1）分割 在中任意插入

   个分点，

      

 将分成个小区间，，。。。。。记每一个小区

 间的长度为；

（2）近似  在每一个小区间上任意取一点做乘积

         ；

     （3）作和  将（2）所得的各值累加起来，得；

（3）取极限 记 ，若不论对怎么分割，也不

        论在上怎么选取，总有

             

      成立（其中为常数），则称在区间上可积，并称极限值为在

      区间上的定积分，记为

           

      即有：

      。

      其中称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量，

     称为积分区间，称为积分的下限与上限，称作积分和式，

     也称作黎曼和。

     该极限仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所采用的那个字母

     无关。

     我们约定：

（1）当时，=0；

（2）当时，。

1.2定积分存在的条件与几何意义

（1）函数有界仅是定积分存在的必要条件。

（2）若函数在区间上连续，那么函数在区间上可积。

（3）若函数在区间上有界，且只有有限个间断点，那么函数在区

   间上可积。

1.3定积分的性质

  （1）（c为常数）；

  （2）

  （3）（K为常数）。

  （4）区间的可加性

    设为三个实数，则有。

  （5）（比较原理）当，。

         推论一：（保号性）当（）时，特别的，若在

       上连续，且不恒为零，则有

         。

推论2 （估值定理）设M，m分别为函数在区间上的最大值和最小值，则有

。

推论3（绝对值可积性）若函数在上可积，则在上也

可积，并有。

（5）定积分中值定理

      如果函数在区间上连续，则在上至少存在一点，使得

          。

第二节微积分基本公式

 2.1积分上限的函数

(1)设函数在区间上连续，因而对任意的，在区间

     上是连续，因此是可积的，即定积分

            

   是存在的。积分下限a确定时，它是上限x的函数，称为的积分上限的

   函数。

  （2）如果函数在区间上连续，则其积分上限的函数。

             

      在可导，并且其导数等于被积函数在积分上限处的值，即

      。

     补充：区间上的连续函数一定存在原函数，并且

        其中为上的任意一点。

  2.2牛顿----莱布尼茨公式

     如果函数在区间上连续，函数是在的一个原函数，

    则

      。

   又常写作。

第三节定积分的换元法与分部积分

   3.1换元积分法的公式

         设函数在区间上连续；函数满足

  （1），；

   (2)在以，为端点的区间上有连续的导数，并且的值域为。 

     则有

      。

3.2奇偶函数的定积分

   函数在区间上的积分等于它在上积分的2倍；奇函数在区间

  上的积分为零 。

3.3周期函数的定积分

   周期函数在任何一个周期上的积分都是相等的。

   设为在实数集上连续的周期函数，周期为，对任意的实数，则有

    。

  3.4定积分的分部积分

     设，在上有连续的导函数，则有

     。

第四节  反常积分

    4.1无穷（限)积分

       设函数在区间上连续，对任意的，如果极限

    

     存在，则称该极限为在无穷区间 上的反常积分，简称无穷积分，

     记作，即

        

     这时也称该无穷积分收敛，并称该极限为这个无穷积分的值；若上述极限

     不存在，则该无穷积分发散。

   4.2瑕积分（无界函数的积分）

设函数在区间上连续，为的瑕点。任取A满足，

若极限

         存在，则称瑕积分收敛，并称此极限值为该瑕

    积分的值。记作；

   若果极限不存在，则称该瑕积分发散。

第五节  定积分的应用

 旋转体的体积X型

    。

Y型

    （曲线）。

X-y型

   。

第六章    微分方程

第一节  微分方程的基本概念

  1.1含有未知函数的导数或微分的等式称为微分方程，习惯简称方程。

     微分方程中所出现的未知函数的高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

  1.2 如果将函数代入某微分方程之中，能使该微分方程成为恒等式，

     则称函数为这个微分方程的解。

     如果微分方程的解中含有任意常数，而且相互独立的任意常数的个数恰好 

     等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解。

  1.3微分方程的通解是一簇数。从几何上看，通解的图形是坐标平面内的一曲

     线簇，称它们为微分方程的积分曲线。

 一般的，称能确定微分方程的通解中任意常数的条件

  

 为初始条件。

 与通解想对应，方程的不含有任意常数的解称为该微分方程的特解。

求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为微分方程的初值问题。

第二节一阶微分方程

   2.1可分离变量的方程

      如果一个一阶微分方程能写成

      

的形式。也就是，等式一端仅含变量的函数及，另一端仅含有变量的

函数及，则称这样的一阶微分方程为可分离变量的方程。

   2.2齐次方程

    如果微分方程可化为

            

的形式，则称该微分方程为齐次方程。

   2.3一阶线性微分方程

  关于未知函数及其导数都是一次的一阶方程，称为一阶线性微分方程。

  否则，为一阶线性非齐次方程。

   2.4一阶线性齐次方程的解法

   我们仍然用可分离变量方程作已知来研究一阶线性齐次方程的解法。

2.4一阶线性非齐次方程的解法

   一阶线性非齐次方程的通解是它的一个特解与其对应的齐次方程的通解

   之和。

2.5伯努利方程

  称方程

 为伯努利方程，显然它不是线性方程，但可通过变量替换转换为线性方程。

 地三节  可降阶的高阶微分方程

3.1型方程。

     的特点是其左端为未知函数的N阶导数，而右端仅为自变量

   x的函数。

 两边积分N次就得到含有N个任意常数的通解。

3.2方程

  的特点是不显含为知函数Y。很容易得到可分离方程。

 3.3方程

  的特点是不显含自变量x。复合函数微分法可解。

第四节  高阶线性微分方程解的结构

       4.1N阶线性微分方程

        形如的方程称为n阶线

       性微分方程；如果其中的则称

为齐次方程；若中的不恒为零，

   称它为非齐次方程。

 4.2高阶线性齐次方程的解的结构

   如果函数与都是二阶线性齐次微分方程

        

   的解，那么

        也是方程的解，

其中，是任意常数。

若与是的两个线性无关的特解，这时是方程的通解。

推广到n阶线性齐次微分方程

 

的N个线性无关的解，那么

是该齐次方程的通解（其中，为任意常数）。

4.3线性非齐次方程的解的结构

 设线性非齐次方程中的是函数与

 的和，即有

   并且，函数与分别是方程

     与

        

的解，那么是方程的解。

如果是线性非齐次方程

    的一个特解，而是所对应的齐次方程

的通解，那么是的通解。

二阶线性非齐次方程的通解=该方程的一特解+其对应的齐次方程的通解。

第五节   高阶常系数线性齐次微分方程

5.1如果方程中的，均为常数，即为

的形式，则称方程为二阶常系数线性齐次方程。

第六节高阶常系数线性非齐次方程