高中导数知识点归纳

一、基本概念

1. 导数的定义：

设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

在点处的导数记作

2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

3．基本常见函数的导数:

①（C为常数）                            ②

③;                                ④;

⑤                                     ⑥;

⑦;                                    ⑧.

二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即：

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：。

2.复合函数的导数

形如的函数称为复合函数。法则： .

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数在某个区间可导，

如果，则在此区间上为增函数；

如果，则在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有，则为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。函数

求函数的一般步骤：①求函数的导数，令导数解出方程的跟②在区间列出的表格，求出极值及的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、例题插播

例1：函数已知时取得极值，则= (       )

A．2           B．3          C．4          D．5

[解析]：∵，又时取得极值∴则=5

例2. 已知函数的图像过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.

答案：（Ⅰ）解析式是

（Ⅱ）在内是减函数，在内是增函数.

第二篇：高中数学知识点精讲——极限和导数

第十二章  极限和导数

第十四章  极限与导数

一、基础知识

1．极限定义：（1）若数列{u_n}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|u_n-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列u_n当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x₀且趋向于x₀时f(x)极限为A，称右极限。类似地表示x小于x₀且趋向于x₀时f(x)的左极限。

2  极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab,

3.连续：如果函数f(x)在x=x₀处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x₀)，则称f(x)在x=x₀处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x₀处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)).若存在，则称f(x)在x₀处可导，此极限值称为f(x)在点x₀处的导数（或变化率），记作(x₀)或或，即。由定义知f(x)在点x₀连续是f(x)在x₀可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x₀处导数(x₀)等于曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=.

9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x₀处可导，且在x₀处取得极值，则

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x₀邻域(x₀-δ,x₀+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极小值；（2）若当x∈(x₀-δ，x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x₀的某领域(x₀-δ,x₀+δ)内一阶可导，在x=x₀处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x₀处取得极小值；（2）若，则f(x)在x₀处取得极大值。

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明]  若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明]  令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即

15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：设α₁,α₂,…,α_n∈R⁺，α₁+α₂+…+α_n=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x₁,x₂,…,x_n∈[a,b]有f(a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n)≤a₁f(x₁)+a₂f(x₂)+…+a_nf(x_n).

二、极限

1、数列极限：

（1）公式：（C为常数）；（p>0）；.

（2）运算法则：

若数列和的极限都存在，则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.

例题：① 将直线、、（，）围成的三角形面积记为，则       .

② 已知和是两个不相等的正整数，且，则        ．

习题：①          .

②设0<a<b，则=_   ____.

③ 若，则        ．

④等于        ．

⑤数列的前n项和为S_n，则＝________.

⑥ 已知数列的首项，其前项的和为，且，则=      .

2、函数极限：

（1）公式： （C为常数）； （p>0）；

；.

（2）运算法则：

若函数和的极限都存在，则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.

习题：①  ；         .

② 已知，，且，则       .

③        .

3、函数的连续性：

函数在处连续的充要条件是.

习题：①已知函数在x=0处连续，则        .

②已知，下面结论正确的是                     （    ）

（A）在处连续                  （B） 

（C）                        （D）

③ 若，则常数的值分别为           .

三、导数

1、导数的概念：

（1）导数的定义：函数在处的导数.

（2）导数的几何意义：曲线上点处的切线的斜率为.因此曲线在点（）处的切线方程为.

（3）导数的物理意义：

若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.

例题：① 若，则等于        .

② 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则      .

③ 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为

④ 已知曲线.

(1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点的切线方程.

⑤ 求抛物线上的点到直线距离的最小值.

习题：① 若，则等于          .

② 运动曲线方程为，则t=3时的速度是           .

③ 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

④ 曲线在点（1，1）处的切线方程是           .

⑤ 已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是          .

2、导数的运算：

   （1）常见函数的导数：

；；；.

；；；.

（2）导数的四则运算法则：

 ；

, ；

.

   （3）复合函数的求导法则：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数

习题：① 若满足，则       .

② 等比数列中，，，，则    .

③ 求下列函数的导数：

（1）              （2）.

     3、导数的应用：

（1）求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求；>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

例题：① 函数的单调递增区间为                         .

② 已知函数，求()的单调区间.

③ 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.

④已知函数在上是增函数，求的取值范围.

习题：①函数的单调减区间为               .

② 若恰有三个单调区间，则的取值范围是            .

③ 已知a>0，函数f（x）=x³－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是      .

④ 求函数（）的单调性.

⑤ 是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增

（2）求函数的极值：求导数；求方程=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.

例题：① 已知函数f（x）=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值，求f（x）的极大值和极小值.

② 函数f（x）=x³－6bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为            .

③ 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围.

习题：① 已知函数=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值为10，则=______

② 设为实数，函数，求的极值.

③ 设函数，，求函数的极值.

（3）求函数的最值：利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值.

例题：① 函数在区间上的最大值是         .

② 求抛物线上与点距离最近的点.

③ 设函数，其中常数.

（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.