第1章 函数与极限总结
1、极限的概念
（1）数列极限的定义
给定数列{xn}，若存在常数a ，对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n, 恒有
|xn-a |<e 则称a 是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a , 记为 
或xn®a (n®¥).
（2）函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当
）有定义，如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d,（或存在X） 使得当x满足不等式0<|x-x0|<d时,（或当
时） 恒有 |f(x)-A|<e ,
那么常数A就叫做函数f(x)当
（或
）时的极限, 记为
或f(x)®A(当x®x0).（ 或
）
类似的有：如果存在常数A,对
当
（
）时，恒有
，则称
为
当时的左极限（或右极限）记作
显然有
如果存在常数A,对
当
时，恒有，则称为当
（或当
）时的极限
记作
显然有
2、极限的性质
（1）唯一性
若，
，则
若
，则
（2）有界性
（i）若，则
使得对
恒有
（ii）若
，则当
时，有
（iii）若，则
当时，有
（3）局部保号性
（i）若且
则
，当
时，恒有
（ii）若，且
，则
当时，有 
3、极限存在的准则
（i）夹逼准则
给定数列
若①
当
时有
②
，
则
给定函数
，
若①当
（或）时，有
②
，
则
（ii）单调有界准则
给定数列
，若①对
有
②
使对有
则
存在
若在点
的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则
（或
）存在
4、极限的运算法则
（1）若，
则(i)
(ii)
(iii)
（
）
（2）设（i）
（ii）当
时
（iii）
则
5、两个重要极限
（1）
，
，
（2）
6、无穷小量与无穷大量的概念
（1） 若
，即对当（或）时有
，则称当
无穷小量
（2） 若
即对
当（或）时有
则称当
无穷大量
7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
当（或）时有
，则
（5）
当（或）时有，则
（6）
则
8、无穷小量的比较
若（1）
，则称当
时，与
是同阶无穷小。
（2）
，则称当时，与是等价无穷小，记作
（）。
（3）
，则称当时，是是高阶无穷小，记作
（）。
（4）
（或），有
，则记
（）
（5）
，则称当时，是
是k阶无穷小，
9、常用的等价无穷小
当
时，有（1）
（2）
（3）
（4）
10、函数连续的概念
（1） 函数连续的定义
设
在点及其邻域
内有定义，若
（i）
或（ii）
或（iii）
当
时，有
则称函数在点处连续
设在点
内有定义，若
，则称函数在点处左连续，
设在点
内有定义，若
，则称函数在点处右连续
若函数在
内每点都连续，则称函数在内连续
若函数在内每点都连续，且
，
，则称函数在
上连续，记作
（2） 函数的间断点
设在点的某去心邻域
内有定义
若函数：
（i）在点处没有定义
（ii）虽然在有定义, 但
f(x)不存在;
(3)虽然在有定义且
f(x)存在, 但f(x)¹f();
则函数f(x)在点为不连续, 而点称为函数f(x)的不连续点或间断点。
设点为的间断点，
（1）
，则称点为的可去间断点，若（2）
，则称点为的跳跃间断点，
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点
（3）
则称点为的无穷型间断点，
（4）若
不存在且都不是无穷大，则称点为的振荡型间断点，
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点
11、连续函数的运算
（1） 连续函数的四则运算
若函数在点处连续
则
在点处也连续
（2） 反函数的连续性，
若函数在区间
上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数
在其对应的区间
上也单调增加（或单调减少）且连续。
（3） 复合函数的连续性
设函数
由函数
复合而成，
，
若（1）
（2）
则
（或
）
（4） 初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
（5） 闭区间上连续函数的性质
（ i）有界性 若，则在上有界
（ii）最大值、最小值定理，若，则在上一定有最大值和最小值
（iii）零点性 若，且
则至少存在一点
使得
（iv）介值性 若，且
，
是介于
之间的任一值，则至少存在一点使得
第二篇：《高等数学》 各章知识点总结——第11章
第11章曲线积分与曲面积分总结
一、曲线曲面积分的计算
1、L的参数方程为 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), 
.
2、有向曲线L: x=j(t), y=y(t), 参数t单调地由a变到b时,
: 
3、设闭区域D由分段光滑的曲线
围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 
, 其中L是D的取正向的边界曲线.
特别要注意曲线不封闭但
比较简单时补一曲线使其封闭的情况。
4、曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy,
5、曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy ,
,
其中当S取上侧时, 积分前取“+”; 当S取下侧时, 积分前取“-”.
6、空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成,
,其中S取外侧。
特别要注意曲面不封闭面三重积分易计算时补一曲面的情况。