复 数
1.复数的概念:
(1)虚数单位i;
(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2.复数集
3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
4.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
① (n为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;
③ 若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b≠0).
(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.
6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
4.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。
6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.
7.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
(二)典型例题讲解
1.复数的概念
例1.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?
例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
例4.当m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.
例5.计算:i+i2+i3+……+i2005.
例8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m= .
例9.已知z=x+yi(x,y∈R),且 ,求z.
例10.已知x为纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,求x、y的值.
2.复数的四则运算
例1.计算:
(1),n∈N+;
(2)若ω=-+i,ω3=1,计算;
(3);
(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.
例2.已知复数z满足|z-2|=2,z+∈R,求z.
例4.复数z满足(z+1)(+1)=||2,且为纯虚数,求z.
例5.复数z满足(1+2i)z+(3-10i)=4-34i,求z.
例6.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证u为 纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值。
7.已知关于的方程有实根,求实数的取值。
1..若复数满足条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.的值为 ( )
. .1 . .
8.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值 ( ).
A.等于1或2 B.等于1 C.等于2 D.不存在
13.已知,其中,则 , .
14.复数在复平面内所对应的点的坐标为 .
15.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位),则z等于___ _____.
16.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.
17.(本题满分12分)已知,复数,
(1)写出复数z的代数形式;
(2)当m为何值时,z=0?当m为何值时,z是纯虚数?
第二篇:高考复数知识点精华总结
复 数
1.复数的概念:
(1)虚数单位i;
(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, b∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2.复数集
3.复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
4.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
① (n为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i;
③ 若ω=-+i,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b≠0).
(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.
6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
4.复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。
5.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a-bi)= a2+b2
6.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.
7.复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
(二)典型例题讲解
1.复数的概念
例1.实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?
解:复数z=m+1+(m-1)i中,因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,
∴ (1)m=1时,z是实数; (2)m≠1时,z是虚数;
(3)当时,即m=-1时,z是纯虚数;
(4)当时,即m<-1时,z对应的点Z在第三象限。
例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
解:根据复数相等的意义,得方程组,得x=, y=4.
例4.当m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.
解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.
(1)z为实数,则虚部m2+3m-10=0,即,
解得m=2,∴ m=2时,z为实数。
(2)z为虚数,则虚部m2+3m-10≠0,即,
解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时,z为虚数.,
解得m=-, ∴当m=-时,z为纯虚数.
诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求.
例5.计算:i+i2+i3+……+i2005.
解:此题主要考查in的周期性.
i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005
=(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i
=0+0+……+0+i=i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住in的周期及合理分组.
例8.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m= .
解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.
∵ m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,
∴,解得,∴ m=3.
当m=3时,原不等式成立.
诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
例9.已知z=x+yi(x,y∈R),且 ,求z.
解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.
∵ ,∴,∴,
解得或, ∴ z=2+i或z=1+2i.
诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)
例10.已知x为纯虚数,y是实数,且2x-1+i=y-(3-y)i,求x、y的值.
解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法.
设x=ti (t∈R,且t≠0),则2x-1+i=y-(3-y)i可化为
2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i,
∴, ∴y=-1, t=-, ∴ x=-i.
2.复数的四则运算
例1.计算:
(1),n∈N+;
(2)若ω=-+i,ω3=1,计算;
(3);
(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.
解:(1)=
=.
(2)=
=-2.
(3)由于, ,
∴ =
=8.
(4)S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99
=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+……+(97+98i-99-100i)
=25(-2-2i)=-50-50i.
例2.已知复数z满足|z-2|=2,z+∈R,求z.
解:设z=x+yi, x, y∈R,则
z+=z+,
∵ z+∈R,∴ =0, 又|z-2|=2, ∴ (x-2)2+y2=4,
联立解得,当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0),
当y≠0时, , z=1±,
∴ 综上所得 z1=4,z2=1+i,z3=1-i.
例3.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.
证明:设z=a+bi (a, b∈R,b≠0),于是
z+=(a+bi)+,
所以b≠0, (z+)∈Rb-=0a2+b2=1|z|=1.
例4.复数z满足(z+1)(+1)=||2,且为纯虚数,求z.
解:设z=x+yi (x, y∈R),则
(z+1)(+1)=||2+z++1=||2,∴ z++1=0,z+=-1,x=-.
==为纯虚数,
∴ x2+y2-1=0, y=±, ∴ z=-+i或z=--i.
例5.复数z满足(1+2i)z+(3-10i)=4-34i,求z.
解:设z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i,
整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.
∴ , 解得, ∴ z=4+i.
例6.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证u为 纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值。
解:(1)设z=a+bi (a, b∈R, b≠0),则
ω=,由于ω是实数且b≠0,∴ a2+b2=1,
即|z|=1,由ω=2a, -1<ω<2, ∴ z的实部a的的取值范围是(-, 1).
(2)u==,由于a∈(-, 1), b≠0,
∴ u是纯虚数。
(3)ω-u2=2a+
=,
由于a∈(-, 1),∴ a+1>0,则ω-u2≥2×2-3=1,
当a+1=, 即a=0时,上式取等号,所以ω-u2的最小值为1.
例7.证明:=1.
解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等.
设z=a+bi,(a, b∈R),则
=.
解2:∵ ,∴ =.
诠释:此题抓住模的定义或共轭复数的性质来求解.
例8.(20##年高考)已知复数z=1+i,求实数a,b使az+2b=(a+2z)2.
解:此题主要考查共轭复数,复数的四则运算,复数的相等.
∵ z=1+i,∴az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,
(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.
∴ ,解得.
例9.若复数z满足z=(t∈R),求z的对应点Z的轨迹方程.
解:此题主要考查复数的四则运算,点的轨迹方程的求法等.
设z=x+yi,(x, y∈R),∵ z==,
∴ ,消去参数 t,得x2+y2= 1,且x≠-1.
∴ 所求方程为x2+y2=1(x≠-1).
诠释:解此题应抓住复数相等的充要条件,从而得到参数方程,消去参数,或者利用模的定义和性质,求出|z|即可.
例10.已知复数z满足|z|=5,且(3+ 4i)z是纯虚数,求z.
解:此题主要考查复数的有关概念,复数的运算,模的定义及计算.
设 z=x+yi(x, y∈R), ∵|z|=5,
∴x2+y2=25, 又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,
∴ , 联立三个关系式解得,
∴ z=4+3i或z=-4-3i.
诠释:解此题应抓住纯虚数的定义和模的定义而得到方程组,正确解方程组即可.
例11.设是纯虚数,求复数z对应的点的轨迹方程.
解:此题主要考查复数的有关概念及性质,四则运算和点的轨迹方程的求法.
∵ 是纯虚数,∴ ,即,
∴ ,∴ 2z+z+=0,(z≠0,z≠-1),
设z=x+yi,(x,y∈R),2(x2+y2)+2x=0(y≠0)
∴ (x+)2+y2=(y≠0).它为复数z对应点的轨迹方程.
诠释:解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质,利用运算法则进行求解。