复数知识点

   

考试内容：

 　 复数的概念．

　　复数的加法和减法．

　　复数的乘法和除法．

　　数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①  复数—形如a + bi的数（其中）；

②  实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③  虚数—当时的复数a + bi；

④  纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤  复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥  复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

3. 共轭复数的性质：

                                           

，（a + bi）              

                                 

（）                             

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4 ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③ 

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

   

若是1的立方虚数根，即，则                                                  .

5.  ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

6. ⑴复数的三角形式：.

辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值.

②辐角是多值的，都相差2的整数倍.

③设则.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

，，.

⑶几类三角式的标准形式：

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：

第二篇：复数知识点总结

复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

5.   除法 

6.   复数运算的常用结论

（1）  ，

（2）  ，

（3）  ，

（4）  ， ， ，．

（5）  ，

（6） 

（7）  ，，

四、复数的平方根与立方根

1.   平方根    若，则是的一个平方根，也是的平方根．  （1的平方根是．）

2.   立方根   如果复数、满足，则称是的立方根．

（1）  1的立方根：   ．

，，．         ．

（2）  的立方根： ．

五、复数方程

1.   常见图形的复数方程

（1）  圆：（，为常数），表示以对应的点为圆心，为半径的圆

（2）  线段的中垂线：（其中分别对应点）

（3）  椭圆： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆

（4）  双曲线： （其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为的双曲线

2.   实系数方程在复数范围内求根

（1）       求根公式：

（2）       韦达定理：

第三篇：《复数》知识点总结

《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.

(1)纯虚数：对于复数，当时，叫做纯虚数.

(2)两个复数相等：相等的充要条件是.

(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.

(4)复数的模：复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：

（5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

  （1）加减运算：；

  （2）乘法运算：；

  （3）除法运算：；

  （4）的幂运算：，，，.

  （5）

3、 规律方法总结

  （1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为

  （2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

  （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.

  （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

 1、基本概念计算类

例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________

解：因为，＝，

又为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。

2、复数方程问题

例2．证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解

证明：原方程化简为设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得    整理得

方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

3、综合类

例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2

（1）   求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）   设，求证：M为纯虚数；

（3）   求的最小值。

解：（1）设z＝a＋bi（a，b）

  因为，是实数，

所以，，即|z|＝1， 因为＝2a，－1<<2，

所以，z的实部的取值范围（－）

（2）＝（这里利用了（1）中）。  因为a（－），，所以M为纯虚数

（3）

 

因为，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1，

当a＋1＝，即a＝0时上式取等号，  所以，的最小值是1。

4、创新类

例4．对于任意两个复数)定义运算“⊙”为

⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.

解法一：（解析法）设，故得点，，且＝0，即

从而有＝  故,也即

解法二：（用复数的模）同法一的假设，知

＝＋－2（）＝＋－2×0

＝＋＝＋

由勾股定理的逆定理知

解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有

   故