复数知识点梳理与应用举例

【知识点归纳】

1、复数集

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数

2、复数的四则运算

若两个复数z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，

（1）加法：z₁+z₂=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）i；

（2）减法：z₁－z₂=（a₁－a₂）+（b₁－b₂）i；

（3）乘法：z₁·z₂=（a₁a₂－b₁b₂）+（a₁b₂+a₂b₁）i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① （n为整数）的周期性运算；  ② （1±i）²=±2i；

③ 若ω=－+i，则ω³=1，1+ω+ω²=0.

3、共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数（b≠0）.

（2）复数z=a+bi的模，|a|=, 且=a²+b².

注：复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

4、复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

【学法指导】

1、  在运用复数的基本概念解题时，应掌握以下几个环节内容：

（1）       理解复数的分类；

（2）       两复数相等的充要条件是它们的实、虚部分别相等；

（3）       实数的共轭复数是其本身；

（4）       注意把复数问题实数化。

2、  应熟练掌握复数的代数形式以及利用代数式的运算法则进行四则运算；在运算过程中记住一些常见性质及结论，简化运算。

【典型例题】

例1、当m为何实数时，复数z＝+（m²+3m－10）i；

（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z为实数，则虚部m²+3m－10=0，即，

解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

（2）z为虚数，则虚部m²+3m－10≠0，即，

解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．

（3），

解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数．

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注       意分母不为零这一要求．

例2、（1） 使不等式m²－（m²－3m）i＜（m²－4m＋3）i＋10成立的实数m＝             .

解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m²－（m²－3m）i＜（m²－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，

∴

当m＝3时，原不等式成立．

注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

（2） 已知z=x＋yi（x，y∈R），且 ，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵ ，∴，∴，

解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。

例3、若复数z满足z=（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程．

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==，

∴，消去参数 t，得x²＋y²= 1，且x≠－1．

∴ 所求z的轨迹方程为x²＋y²＝1（x≠－1）．

诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（  ）

A、甲是乙的充分非必要条件            B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件          D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

2、已知关于x的方程x²－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（  ）

A、m≥－         B、m≤－      C、m=             D、m=－

3、等于（  ）

A、0                    B、1                     C、－1                 D、i

4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（  ）

A、5＋3i           B、5－3i           C、－5＋3i          D、－5－3i

5、方程x²＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（  ）

A、－2≤k≤2                  B、k≤－2或k≥2

C、k=±2                          D、k≠2

6、若2＋3i是方程x²+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（  ）

A、m＝4，n=－3                        B、m=－4，n＝13

C、m＝4，n=－21                       D、m=－4，n＝－5

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知下列命题：

（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；

（2）任何两个复数不能比较大小；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）若 t＋si=3－4i，则 t=3、s=－4．

其中真命题为                  ．

8、若复数z满足z+||=－1＋2i，则z=                 .

9、设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为            .

三、解答题（本大题共4题，共50分）

10、设是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

11、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．

试题答案

1、B          2、C              3、A             4、B              5、C             6、B

7、（1）

8、－+2i       

9、3

10、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

∵ 是纯虚数，∴ ，即,

∴ ，∴ 2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），

设z=x＋yi，（x，y∈R），2（x²＋y²）＋2x＝0（y≠0）

∴ （x＋）²＋y²＝（y≠0）即为复数z对应的点的轨迹方程．

诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。

11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．

设 z＝x＋yi（x, y∈R）,  ∵|z|＝5，

∴x²＋y²＝25,  又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是纯虚数，

∴ ，   联立三个关系式解得，

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．

第二篇：高三数学复数知识点

高三数学复数知识点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：复数—形如a + bi的数（其中）；

① 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

② 虚数—当时的复数a + bi；

③ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

④ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑤ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑥  ⑶两个复数相等的定义：

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设，则；

；。

加法的几何意义：设_，各与复数z₁，z₂对应，以_，为边的平行四边形的对角线就与z₁+z₂对应。

减法的几何意义：设_，各与复数z₁，z₂对应，则图中向量所对应的复数就是z₂-z₁。 ｜z₁-z₂｜的几何意义是分别与Z₁，Z₂对应的两点间的距离。

3. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则=a-bi，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4. ⑴①复数的乘方：   

若是1的立方虚数根，即，

则                                                  .

5. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立

6.复数的几何意义：

①复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

②复数的模：，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小。