数列复习
等差数列
1. 定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为
（d为常数）（
）；
2．等差数列通项公式：
（1）
（首项:
，公差:d，末项:
）
（2）
． 从而
；
3．等差中项
（1）如果
，
，
成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：
或
（2）等差中项：数列
是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：
（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
5．等差数列的证明方法
（1）定义法：若或
(常数
)
是等差数列．
（2） 等差中项：数列是等差数列．
（3）数列是等差数列
（其中
是常数）。
（4）数列是等差数列
,（其中A、B是常数）。
注：（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；
偶数个数成等差，可设为…，
,…（公差为2）
7.等差数列的性质：
（1）当公差
时，等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；前和
是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.注：
，图示：
(4) 若{}是等差数列，则
，…也成等差数列
图示：
（5）若等差数列
、
的前和分别为
、
，且
，则
.
（6）若
、
为等差数列，则
为等差数列
等差数列的性质以及常见题型
一 等差数列的定义及应用
1.已知数列
的通项公式为
，试问该数列是否为等差数列。
2.已知：
成等差数列，求证：
也成等差数列
二 等差数列的性质考察
(1)熟用
，问题
1、等差数列中，
，
，则
.
2、已知等差数列中，
的等差中项为
，
的等差中项为
，则
.
3、已知等差数列中，
，
，则
．
(2)公差的巧用
1、已知等差数列共有
项，其中奇数项之和为
，偶数项之和为
，则其公差等于
2、等差数列
中，已知公差
，且
，则
（ ）
A．170 B．150 C．145 D．120
4.已知
且两个数列
与
各自都成等差数列则
等于( )
A 
B 
C 
D 
(3)
性质的应用
1. 等差数列中，若
，则
。
2.等差数列中，若
。则
。
3.在等差数列中
，则
。
4.等差数列中, 
,则
。
5.在等差数列
中，
，那么它的前
项和
等于。
6.等差数列中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则.
7.｛an｝为等差数列，a1+a2+ a3=15，an+an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= 。
（4）方程思想的运用
1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和
2. 已知等差数列{an}中，
,
,求数列{an}的前n项和
(5)
也成等差数列的应用
1、等差数列前
项和是
，前
项和是
，则它的前
项和。
2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2项的和为120，求它的前3项的和为。
3.a1，a2 ，a3，…… a2n+1 为等差数列奇数项和为60，偶数项的和为45,求该数列的项数.
4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项。
5.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是。
(6）
的运用
1.设和
分别为两个等差数列
的前项和，若对任意
，都有
，则
= ________ 。
（7）与的关系问题;
1.数列的前n项和
，则＝_______
2.数列的前n项和
，则＝_ ___
3.数列的前n项和
，则＝___________
4.数列
的前n项和
（八）巧设问题；
一般情况,三个数成等差数列可设:
;四个数成等差数列可设:
.
1.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.
2.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.
3.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差
(九）．最值问题:；
1.在等差数列
中,
,求的最大值.
2.等差数列中， 
，则n的取值为多少时？最大
3.已知等差数列{}中
=13且
=
,那么n取何值时,取最大值.
（10)累加法的应用-------裂项相消
1.已知数列{an}满足:
,求.
2.已知数列{an}满足:
,求.
4.在数列{an}中，
,求an.
(11)由求
的前项和
1.数列的前
项和
，则
_______.
2.数列的前项和，
，则数列
的前项和
_______.
(12)由
得的题型、
直接法
1.已知正项数列的前项和为，
，且满足
。
（1）求数列通项公式；
（2）求证：当时，
。
倒数法
1.已知数列
中，a
≠０，a
＝
，a
＝
（n∈N
），求a
等比数列
一、基本概念与公式：
1、等比数列的定义；
2、等比数列的通项公式：
(1)
; (2)
.(其中为首项、
为第项，
;
3、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1
当q≠1时，Sn=
=
Sn=
三、有关等比数列的几个特殊结论
1、等比数列中，若
，则
注意：由求时应注意什么？
时，
；
时，
.
2、等比数列中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列．
3、公比为
的等比数列中的任意连续项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……（Sm≠0）仍为等比数列，公比为
.
4、若与
为两等比数列，则数列
、
、
、
（
，
为常数）仍成等比数列．
5、若为等差数列，则
(c>0)是等比数列．
6、若
为等比数列，则
(c>0且c
1) 是等差数列．
7、在等比数列中：（1）若项数为
，则 
（2）若项数为
，则
8、数列是公比不为1的等比数列数列前n项Sn=
9、等比数列的判定方法
（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0
{an}是等比数列.
（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.
（3）、an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.
10、等比数列的前n项和的性质
（1）、若某数列前n项和公式为Sn=an－1(a≠0,±1)，则{an}成等比数列.
（2）、若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m=Sn＋qn·Sm.
（3）、在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则 
（4）、Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列.
等比数列的性质以及常见题型
一 公比的运用
1.在等比数列中，
，
，则它的公比
，前项和
．
2.在等比数列中, 
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在等比数列
中，
，则公比
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.等比数列的公比为，则
的值为
5.设等比数列的前项和为
，若
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
6.等比数列
的首项
，前项和为
，公比
，若
＝
，则
= ．
7.在等比数列中，公比
且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二.
性质的应用
1.在各项均为正数的等比数列
中，若
则
…
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2.等比数列的各项均为正数，且
，则
( )
A．12 B．10 C．8 D．
3.在等比数列中，若
是方程
的两根，则
的值是 .
4.在等比数列中
，
________。
5.已知各项均为正数的等比数列，
，
，则
( )
A．
B．7 C．6 D．
6.设是任意等比数列，它的前项和，前
项和与前
项和分别为
，
，
，则下列等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
三 求数列的通项公式
（一）构造法求
构造法
1.已知数列中，a＝３，a＝a＋１（n∈N）求数列的通项公式
2.已知数列中，a＝１，a＝3a＋２，求数列的通项公式
（二）根据题意构造
1.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
Sn(n＝1，2，3…)．
（1）求证：数列{
}是等比数列．(2)求数列
的通项公式.
2.已知在数列中，
，
，
（1）证明数列
为等比数列 (2)求数列的通项公式。
2.裂项相减（等差与等比之积的形式为等差数列，
为等比数列，则数列
的前项和）
例1：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列
的前n项和．
第二篇：数列复习基本知识点及经典结论总结 2
数列复习基本知识点及经典结论总结
1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，如果数列
的第n项
与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知
，则在数列
的最大项为__（答：
）；（2）数列
的通项为
，其中
均为正数，则
与
的大小关系为___（答：
）；
（3）已知数列
中，
，且是递增数列，求实数
的取值范围（答：
）；（4）一给定函数
的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列满足
，则该函数的图象是 （）（答：A）
A B C D
递推关系式：已知数列
的第一项（或前几项），且任何一项
与它的前一项
（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；
②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n项和： 
.
已知
求
的方法（只有一种）：即利用公式 =
注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n
2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念：
1、 等差数列的定义：如果数列
从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
.(或
).
（1） 等差数列的判断方法：①定义法：
为等差数列。
② 中项法： 
为等差数列。③通项公式法：
（a,b为常数）为等差数列。④前n项和公式法：
（A,B为常数）为等差数列。
如设是等差数列，求证：以bn=
为通项公式的数列
为等差数列。
（2）等差数列的通项：
或
。公式变形为:. 其中a=d, b= 
－d.
如(1)等差数列中，
，
，则通项
（答：
）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
）
（3）等差数列的前
和：
，
。公式变形为：，其中A=
，B=
.注意：已知n,d, 
,
, 
中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。
如（1）数列 中，
，
，前n项和
，则
＝＿，＝＿（答：
，
）；（2）已知数列 的前n项和
，求数列
的前项和
（答：
）.
（4）等差中项：若
成等差数列，则A叫做
与
的等差中项，且
。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，
,…（公差为2）
3.等差数列的性质：
（1）当公差
时，等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；前和
是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）对称性：若
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.如（1）等差数列中，
，则＝____（答：27）；（2）在等差数列
中，
，且
，
是其前项和，则A、
都小于0，
都大于0 B、
都小于0，
都大于0 C、
都小于0，
都大于0 D、
都小于0，
都大于0 （答：B）
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即
成等差.若、
是等差数列，则
、
(
、
是非零常数)、
、
，…也成等差数列，而
成等比数列；若是等比数列，且
，则
是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
（5）在等差数列中，当项数为偶数
时， 
；
；
.
项数为奇数
时， 
；
；
。 如（1）在等差数列中，S11＝22，则
＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列
(7)若等差数列、的前和分别为
、
，且
，则
.如设{}与{
}是两个等差数列，它们的前项和分别为
和
，若
，那么
___________（答：
）
(8) 8、已知成等差数列，求的最值问题：
① 若
,d<0且满足
,则最大；
②若
,d>0且满足
,则最小.
“首正”的递减等差数列中，前
项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，
，
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项
，
，则使前n项和
成立的最大正整数n是 （答：4006）
(9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究
.
4.等比数列的有关概念：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即
（或
（1）等比数列的判断方法：定义法
，其中
或
。如（1）一个等比数列{}共有
项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
为____（答：
）；（2）数列中，=4
+1 (
)且=1，若
，求证：数列｛
｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：
或
。如设等比数列中，
，
，前项和＝126，求和公比
. （答：
，
或2）
（3）等比数列的前和：当
时，
；当
时，
。如（1）等比数列中，＝2，S99=77，求
（答：44）
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=
.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
。如已知两个正数
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…
，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当时，则有
，特别地，当时，则有
.如（1）在等比数列中，
，公比q是整数，则
=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若
，则
（答：10）。
(2) 若是等比数列，则
、、
成等比数列；若
成等比数列，则
、
成等比数列； 若是等比数列，且公比
，则数列 ，…也是等比数列。当
，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 若是等比数列，且各项均为正数，则
成等差数列。 如（1）已知
且
，设数列
满足
，且
，则
. （答：
）；（2）在等比数列中，为其前n项和，若
，则
的值为______（答：40）
(3)单调性：若
，或
则为递增数列；若
,或
则为递减数列；若
，则为摆动数列；若，则为常数列.
(4) 当时，
，这里
，但
，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且
，则
＝ （答：－1）
(5) 
.如设等比数列的公比为，前项和为，若
成等差数列，则的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，
；项数为奇数时，
.
(7)如果数列
既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列
的前项和为
（
）， 关于数列有下列三个命题：①若
，则既是等差数列又是等比数列；②若
，则是等差数列；③若
，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列
试写出其一个通项公式：__________（答：
）
⑵已知（即
）求，用作差法：
。如①已知的前项和满足
，求（答：
）；②数列满足
，求（答：
）
⑶已知
求，用作商法：
。如数列中，
对所有的
都有
，则
______（答：
）
⑷若
求用累加法：
。如已知数列满足
，
，则=________（答：
）
⑸已知
求，用累乘法：
。如已知数列中，
，前项和，若
，求（答：
）
⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如
、
（
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如①已知
，求（答：
）；②已知
，求（答：
）；（2）形如
的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知
，求（答：
）；②已知数列满足=1，
，求（答：
）
注意：（1）用
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当
时，
）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足
，求（答：
）
7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
，
，
.如（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则
＝_____（答：
）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如
表示二进制数，将它转换成十进制形式是
，那么将二进制
转换成十进制数是_______（答：
）
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：
（答：
）
（3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题））. 如已知
，则
＝______（答：
）
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差·比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如设为等比数列，
，已知
，
，①求数列的首项和公比；②求数列
的通项公式.（答：①
，
；②
）；
（5）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
； ②
；
③
，
；
④
⑤
；
⑥
⑦
；
如（1）求和：
（答：
）；（2）在数列中，
，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；
（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如①求数列1×4，2×5，3×6，…，
，…前项和
= （答：
）；②求和：
（答：
）
8.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：
（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款
元应满足：
（等比数列问题）.