20##考研数学基础阶段学习方法指导之线性代数

万学海文

《线性代数》在考研数学中所占的比例大约为22%，转化为分值大约为34分，一般有5个考题(2个选择题，1个填空题，2个解答题)。这门课的特点是：内容抽象，概念多，符号多，运算法则多，并且有的法则和大家习惯的数的运算法则有较大的反差，容易引起混淆。例如数具有运算法则：，但是在矩阵中一般来说两个矩阵相乘不满足交换律，并且矩阵的乘法运算是第一轮复习的重点及难点，万学海文考研数学辅导老师们在此提醒20##年的考生们要引起注意。

另外这门课内容上前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，对于抽象性及逻辑性有较高的要求。因此，解题方法灵活多样，把握起来就有一定的困难。根据万学海文以往的辅导经验来看，很多同学在最开始复习的时候觉得线代这门课就是一大堆概念，没有一个整体的框架，万学海文建议大家在学习的过程中要不断总结归纳，搞清内在联系，使所学知识融会贯通，充分理解概念，熟练掌握公式、定理成立的条件。大家在复习的过程中要重视三基本的掌握，近几年，考试题目更加灵活，考生总体基础薄弱进一步凸显。像08年n阶行列式的计算，不是偏题、怪题，但却是很多同学的失分点，说明大家在复习的时候对这个知识点没有引起足够的重视。所以大家在复习备考时，尤其是第一轮，不要放过任何一个知识点，可以通过一题多解的训练来开拓思路，提高对综合试题的分析和解决能力，自己推导是学习线代的最好方法。

线性代数包括六大部分内容：行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和二次型，两道解答题出现在向量、线性方程组一道大题，特征值和二次型一道大题，其中以实对称矩阵考察较多。解答题的出题方式及类型：线性相关性的证明、秩的证明、极大无关组的求法、抽象具体方程组的求解、公共解通解问题、线性表示（11年考察）、实对称矩阵（11年考察）、化二次型为标准形。了解解答题的出题方式及类型，使得复习中更有针对性，当然打好基础还是最重要的，在打好基础的前提下了解重要题型。

行列式和矩阵这两部分内容知识点比较多，针对这两部分一定要学会总结；历年来向量这一部分都是学生复习的难点问题，主要原因是因为向量这一部分内容是最抽象，不易理解的，例如极大线性无关组的定义可以这样来理解：对于这样一个向量组，它有可能是线性相关的，也有可能是线性无关的，而极大线性无关组就是要讨论对于这样的一个向量组，找出这个向量组里面最多有几个线性无关的向量。比如说这样一个向量组，大家首先判断一下这个向量组是相关的还是无关的？很容易看出是相关的，三个二维向量是线性相关的。既然是相关的，那大家能不能找出来它最多有几个线性无关的向量？这两个向量是线性无关的，另外，；也是两个线性无关的向量组，但是你把这三个向量构成一个向量组就是线性相关的，说明在我们这个向量组里面最多有两个是线性无关的。我们考虑的这样一个最多的无关向量的个数就是我们定义的向量组的秩，而找出来的这两个线性无关的向量构成的向量组就叫做这个向量组的极大无关组。即尽量用具体例子说明抽象问题；线性方程组、特征值和二次型这三部分中解题步骤比较多，万学海文数学考研辅导老师们建议20##年的考研学生多做题，熟悉解题步骤。

总的来说，线性代数这门科目主要是知识点比较多，并且容易遗忘，在复习中希望同学们要把总结放在首要位置。

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第二篇：20xx考研数学基础阶段学习方法指导之线性代数

20xx考研数学基础阶段学习方法指导之线性代数

万学海文

《线性代数》在考研数学中所占的比例大约为22%，转化为分值大约为34分，一般有5个考题(2个选择题，1个填空题，2个解答题)。这门课的特点是：内容抽象，概念多，符号多，运算法则多，并且有的法则和大家习惯的数的运算法则有较大的反差，容易引起混淆。例如数具有运算法则：a?b?b?a，但是在矩阵中一般来说两个矩阵相乘不满足交换律，并且矩阵的乘法运算是第一轮复习的重点及难点，万学海文考研数学辅导老师们在此提醒20xx年的考生们要引起注意。

另外这门课内容上前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，对于抽象性及逻辑性有较高的要求。因此，解题方法灵活多样，把握起来就有一定的困难。根据万学海文以往的辅导经验来看，很多同学在最开始复习的时候觉得线代这门课就是一大堆概念，没有一个整体的框架，万学海文建议大家在学习的过程中要不断总结归纳，搞清内在联系，使所学知识融会贯通，充分理解概念，熟练掌握公式、定理成立的条件。大家在复习的过程中要重视三基本的掌握，近几年，考试题目更加灵活，考生总体基础薄弱进一步凸显。像xx年n阶行列式的计算，不是偏题、怪题，但却是很多同学的失分点，说明大家在复习的时候对这个知识点没有引起足够的重视。所以大家在复习备考时，尤其是第一轮，不要放过任何一个知识点，可以通过一题多解的训练来开拓思路，提高对综合试题的分析和解决能力，自己推导是学习线代的最好方法。

线性代数包括六大部分内容：行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和二次型，两道解答题出现在向量、线性方程组一道大题，特征值和二次型一道大题，其中以实对称矩阵考察较多。解答题的出题方式及类型：线性相关性的证明、秩的证明、极大无关组的求法、抽象具体方程组的求解、公共解通解问题、线性表示（xx年考察）、实对称矩阵（xx年考察）、化二次型为标准形。了解解答题的出题方式及类型，使得复习中更有针对性，当然打好基础还是最重要的，在打好基础的前提下了解重要题型。

行列式和矩阵这两部分内容知识点比较多，针对这两部分一定要学会总结；历年来向量这一部分都是学生复习的难点问题，主要原因是因为向量这一部分内容是最抽象，不易理解的，例如极大线性无关组的定义可以这样来理解：对于这样一个向量组?1,?2,?,?s，它有可能是线性相关的，也有可能是线性无关的，而极大线性无关组就是要讨论对于这样的一个向量组，找出这个向量组里面最多有

?1??0??1?几个线性无关的向量。比如说??,??,??这样一个向量组，大家首先判断一下

?0??1??1?

这个向量组是相关的还是无关的？很容易看出是相关的，三个二维向量是线性相关的。既然是相关的，那大家能不能找出来它最多有几个线性无关的向量？?1??0??1??1??0??1?这两个向量是线性无关的，另外，,??????,??；??,??也是两个线性无关?0??1??0??1??1??1?

的向量组，但是你把这三个向量构成一个向量组就是线性相关的，说明在我们这个向量组里面最多有两个是线性无关的。我们考虑的这样一个最多的无关向量的个数就是我们定义的向量组的秩，而找出来的这两个线性无关的向量构成的向量组就叫做这个向量组的极大无关组。即尽量用具体例子说明抽象问题；线性方程组、特征值和二次型这三部分中解题步骤比较多，万学海文数学考研辅导老师们建议20xx年的考研学生多做题，熟悉解题步骤。

总的来说，线性代数这门科目主要是知识点比较多，并且容易遗忘，在复习中希望同学们要把总结放在首要位置。

第三篇：高中数学研究性学习备选课题 - 十堰市第一中学

高中数学研究性学习备选课题

一、函数部分

问题1 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。

问题2 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型。

问题3 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形?实根分布的条件用于求值域。

问题4 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。

问题5 回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。 问题6 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。

问题7 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。

问题8 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？

问题9 对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。

问题10 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。

二、三角部分

问题1 数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三问题中的数形结合功能。

问题2 概括sinx+cosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。

问题3 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。

问题4 构造法在求三角最值中的应用。

问题5 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。 问题6 三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。

三、不等式部分

问题1 一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。

问题2 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。

问题3 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。

问题4 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。

问题5 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。

问题6 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。

问题7 分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。

问题8 探索绝对值不等式

四、立体几何

问题1 平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几 问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。

问题2 用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。

问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。

问题4 异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。

问题5 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。

问题6 作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。

问题7 等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。

问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。

五、解几部分

问题1 对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。

问题2 我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。

问题3 整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。

问题4 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。

问题5 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比分点的相应问题与方法。

问题6 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。

问题7 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。

问题8 解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。

问题9 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。

问题10 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦” 问题。 问题11 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。

问题12 在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。

问题13 对平移变换的解题功能进行综述。

问题14 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。