高一数学研究性学习报告手册

研究性学习的背景、目标和意义：研究性学习是学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中通过多种渠道主动获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。研究性学习与社会实践、社区服务、劳动技术教育共同构成“综合实践活动”，作为必修课程列入《全日制普通高级中学课程计划》。 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。数学研究性学习的特点主要体现在它的开放性、研究性和实践性。它的功能在于能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。研究性学习是一种新型的学习方法，也最重要的是研究与学习的过程，它的目的不仅是课题的结果，更重要的是要学生学会一种终身学习的能力，激励一种终身探究的品质。

课题选择：研究性学习课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。新高中数学新教材按《新课标》的要求给出以下课题，供参考选用。当然同学们也可以结合高一所学课程内容，自拟课题提出问题。

参考课题有三个：1. 商场促销活动中商品的实际价格（函数知识在实际生活中的应

用）；（小组研究）

2. 二次函数闭区间最值问题的研究；（个人研究）

3. 高中中数学中数形结合思想的应用探究；（个人研究）

操作建议：

1. 选题，根据个人兴趣初步确定实习作业的选题范围；

2. 分组，3～6认为一个实习小组，确定一个人为组长；

3. 分配任务，根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每个人的具体任务；

4. 搜集资料，针对具体实习题目，通过各种方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料；

5. 素材汇总，用实习报告的形式展现小组的实习成果；

6. 全班范围的交流、讨论和总结。

注：课题2和课题3在操作时，以上步骤中的2，3，4可改为：相关书籍，相关网页。 实习报告的格式：

实习报告

题目：

正文：

备注：

组长及组员：

指导教师审核意见：

研究性学习的评价：

1. 学生的自我评价。学生既作为评价的主体，又作为评价的客体。这里的准则既可以是自我参照的，也可以是标准参照的。前者以学习者自己的目标、期望和以前取得的成就为参照点进行评价，评价标准来源于学生自己的作业，而非外在的指标。标准参照则依据公认的公共标准进行。自我评价的意义在于加深学生对自己作为学习者的理解，有助于学习目标的认识，有助于对学习过程的控制，培养和形成对学习及活动的评价能力。

2. 高中新课程“综合实践活动”课包括三个方面的内容：研究性学习活动(三年共270课时完成，共15学分)；等级评价标准：优秀（A）： ①有科学的课题方案；②研究过程积极主动、探索性强且记录完整；③课题研究成果报告：论述深刻、有创造性见解、具有广泛运用价值；④有三级(自评、组评、师评)优秀评估结论。良好（B）：①有良好的课题方案；②研究过程积极主动、探索性强且记录完整；③课题研究成果报告：论述正确、见解新颖、具有较好的运用价值；④有三级(自评、组评、师评)良好评估结论。合格（C）： ①有符合要求的课题方案；②研究过程记录完整；③有课题研究成果报告；④有三级(自评、组评、师评)合格评估结论。不合格（D）： ①课题方案不符合要求；②研究过程记录不完整；③有课题研究成果报告不符合要求，没有运用价值；④组评、师评结论不合格。达合格要求，可得5个学分。

高一年级数学备课组

第二篇：数学研究性学习报告(二次函数)

班级：高二（6）班

课题组长：余杭银

课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、

          徐李忺、朱佳威、顾棋锋

指导老师：王少波

研究性学习课题开题报告

201 4 年 5 月 30 日

1.二次函数的基本定义

一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

2. 二次函数图象的特点及应用  

     二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。                    

二次函数图象的特点 

   一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。且a≠0） 

则称Y为X的二次函数。 

①二次函数的三中表达形式： 

  （1）一般式：  y=ax2+bx+c（ 其中a,b,c为常数，且 a≠0）；             

 （2） 顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a≠0） ；     

  （3）交点式： y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且 A( x1，0)和B(x2，0)

为二次函数图像与x轴的交点坐标。 ）

 ②三中表达形式的关系 

     以上3种形式可进行如下进行转化：    

（1）一般式和顶点式的关系 

   对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即  h=-b/2a=(x1+x2)/2  k=(4ac-b^2)/4a  

（2）一般式和交点式的关系  

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)  ]

抛物线的性质  

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。  

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）  

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )  当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。  

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。  

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。  |a|越大，则抛物线的开口越小。  

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。  当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；  当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。  

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。  抛物线与y轴交于（0，c）  

6.抛物线与x轴交点个数  

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。  Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。  Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）  

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变  

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为

y=ax^2+c(a≠0)  

7.定义域：R  值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）  

8.奇偶性：偶函数  

9.周期性：无  

二次函数图像的应用  

   二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。 

典型题目如：

  （一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3]. 

利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。 

   （二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。 解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1…… 

运用函数与方程的思想方法。 

（三）、实根问题：设二次

函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范围。解得0＜a＜3-2√（2）. 

用数型结合的思想来做的。 

（四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和

一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）. 

二次函数和一次函数的共同问题。 

生活实际运用如：

 （一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。 

   （1）请写出y与x之间的关系式； 

   （2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 

解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。 （2）由y=-5x2+100x+6000得       当x=-b/2a=10时，       Ymax=（4ac-b2）/2a=60500 

      所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。       

（二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。 

         已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。 

     解：关系式为y=-x2+3x（0＜x＜3）           Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0＜x＜3 

          所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。        

 （三、拱桥问题。 

         有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米, 求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米

的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？ 

  解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2 ；        计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速度应超过60 千米/时。 

     …… 

二次函数在生活上具有非常广泛的应用，地位很高，所以我们要认真学习该部分知识。

3. 二次函数图象在古代建筑中的应用 

赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。桥长50.82米，跨径37.02米，券高7.23米，两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。唐朝的张嘉贞说它“制造奇特，人不知其所以为”。

根据相关数据，计算得出，赵州桥满足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，这就是二次函数图像的实际应用。

 研究性学习课题结题报告（成果报告）