§11. 概率 知识要点
1. 概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率.
3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推广:.
②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.
注意:i.对立事件的概率和等于1:.
ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A:“抽到老K”;B:“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有,因此有.
推广:若事件相互独立,则.
注意:i. 一般地,如果事件A与B相互独立,那么A 与与B,与也都相互独立.
ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率:.
4. 对任何两个事件都有
第二篇:高考数学知识点总结014导数p2
§14.导数 知识要点
1. 导数(导函数的简称)的定义:设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:①是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.
②以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.
2. 函数在点处连续与点处可导的关系:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.事实上,令,则相当于.
于是
⑵如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.
例:在点处连续,但在点处不可导,因为,当>0时,;当<0时,,故不存在.
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
4. 求导数的四则运算法则:
(为常数)
注:①必须是可导函数.②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如:设,,则在处均不可导,但它们和
在处均可导.
5. 复合函数的求导法则:或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性:⑴函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果>0,则为增函数;如果<0,则为减函数.
⑵常数的判定方法;如果函数在区间内恒有=0,则为常数.
注:①是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样是f(x)递减的充分非必要条件.
②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
7. 极值的判别方法:(极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极大值,极小值同理)
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①: 若点是可导函数的极值点,则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例如:函数,使=0,但不是极值点.
②例如:函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注:函数的极值点一定有意义.
9. 几种常见的函数导数:
I.(为常数)
()
II.
III. 求导的常见方法:
①常用结论:.
②形如或两边同取自然对数,可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可得.