20##高三数学知识点汇总

三、不等式

一、不等式的基本性质为：

     ①                                  ；②                                  ；

③                                  ；④                                  ；

⑤                                  ；⑥                                  ；

⑦                                  ；⑧                                  ；

注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若，则（当且仅当时取等号）

基本变形：①            ；             ；②

③若，则，；④

基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当（常数），当且仅当           时，                ；

当（常数），当且仅当           时，                ；

常用的方法为：拆、凑、平方；

如：①函数的最小值             。

②已知，则的最大值              。

③，的最大值                  。

④若正数满足，则的最小值                    。

推广：①若，则（当且仅当时取等号）

基本变形：            ；         ；

②若，则（当且仅当时取等号）

三、绝对值不等式：                                                 

注意：                ；               ；

                ；               ；

                ；               ；

                ；               ；

四、常用的基本不等式：

（1）设，则（当且仅当              时取等号）

（2）（当且仅当         时取等号）；（当且仅当         时取等号）

（3）若，则；（4）若，则

（5）若，则

（6）柯西不等式：设，则

注意：可从向量的角度理解：设，则

（7）；                 ；

（8），若，则；若，则；

五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：①作差比较：；②作商比较：

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……

（4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：；

⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，如：；

⑷利用常用结论：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

Ⅲ、 ； （程度大）

Ⅳ、 ； （程度小）

Ⅴ、；

（6）判别式法：与一元二次函数有关的或能通过等价变形转化成一元二次方程的根据其有实数解或无解建立不等式关系。

如：证明，可转化为求函数的值域。

（7）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知，可设；

已知，可设()；

已知，可设；

已知，可设；

（8）构造法：通过构造函数、方程、数列、复数(向量)或不等式来证明不等式；

六、不等式的解法：

（1）如果两个不等式的解集相等，那么这两个等式就叫做同解不等式，解不等式主要是依据不等式的性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式。

（2）不等式的同解原理主要有：

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式同解。

2、不等式两边都乘上(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式同解。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等号改变方向后，所得不等式与原不等式同解。

（3）一元一次不等式：

Ⅰ、：⑴若，则         ；⑵若，则         ；

Ⅱ、：⑴若，则         ；⑵若，则         ；

（4）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；

注：要对进行讨论：

Ⅰ、：

⑴                     ；⑵                      ；⑶                   ；

Ⅱ、：

⑴                     ；⑵                      ；⑶                   ；

（5）绝对值不等式：若，则             ；             ；

⑴                      ；⑵                      ；

⑶                      ；

⑷含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

注意：Ⅰ、几何意义：：                                   ；

：                                   ；

Ⅱ、解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则     ；

②若则     ；③若则     ；

⑵通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

（6）高次不等式：化成标准型，利用表解法和序轴表根法写出解集。

序轴表根法求解的步骤：⑴将每个因式的根标在数轴上；⑵从右上方依次通过每个点画出曲线，注意：                        ；⑶根据曲线显示的值的符号变化写出不等式的解集。

注意：每个因式中前的系数都为正值。

（7）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

⑴                  ；⑵                  ；

⑶                  ；⑷                  ；

（8）无理不等式的解法：通解变形为有理不等式；

⑴                     ；⑵                       ；

⑶                       ；

注意：⑴保证根式有意义；⑵取根号的方法是平方、换元，通过两边平方去根号，不等式两边要为非负值。

（9）指数不等式：

⑴                                     ；

⑵                                        ；

⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。

注意：对底数的讨论。

（10）对数不等式：

⑴                                                 ；

⑵                                          ；

⑶利用换元法，令将不等式化为一元二次不等式来解。

注意：⑴对底数的讨论；⑵真数大于零；

⑶解指数、对数不等式的一般步骤：统一底数同解变形分类讨论（底数）；

（11）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（12）解含有参数的不等式：一般是对含参数的不等式进行恰当的分类和讨论：

⑴对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。

⑵对含参数的一元二次不等式，还要分、、讨论。

⑶对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。

⑷对指数、对数不等式要注意对底数分、进行讨论。

如：（1）；（2）

第二篇：20xx届高三数学错题再练(不等式)

不等式

班级： 姓名：

一：填空题

1. 已知集合A?{x||x|?2,x?R},B?{x|x?4,x?Z}，那么A?B。

2. 若点(?2,t)在直线2x?y?6?0的上方，则实数t的取值范围是。

3. 当x?(1,3)时，不等式x2?mx?4?0恒成立，则实数m的取值范围是。

4. 已知a?R，则a2?3

a?2

x2的最小值为 。 5. 若存在正数x使2(x?a)?1成立，则实数a的取值范围是 。

6. 若不等式xx?2在x?(0,2]上恒成立，则实数a的取值范围是 。 ?a?x2?9x2

?y?3?0?7. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组?2x?y?7?0表示的平面区域为D。若指数函

?x?2y?6?0?

数y?a(a?0且a?1)的图象与D有公共点，则实数a的取值范围是 。

8. 已知函数f(x)?log2(x?2)，若实数m,n满足f(m)?f(2n)?3，则m?n的最小值是 。

9. 已知三个正数a, b, c满足：a?b?c?3a,3b?a(a?c)?5b，则

是 。

10.已知x,y均为正实数，且22xb?2c的最小值a33??1，则xy的最小值为 。 2?x2?y

?x?2?11. 设定点A(3,0)，动点P(x,y)的坐标满足约束条件?y?2，则|OP|cos?AOP（O

?x?y?6?

为坐标原点）的最大值为 。

12. 若关于x的不等式(2x?1)?ax的解集中整数恰有2个，则实数a的取值范围是 。

13. 定义：min{x,y}为实数x, y中较小的数；已知h?min{a,2b，其中a, b均为正a2?4b2

实数，则h得最大值是 。

14. 已知圆心角为120o的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、 1

OB上。若CD2?CE2?DE2?

二：解答题 26，则OD+OE的最大值是 。 9

15. 设函数f(x)?mx?mx?6?m。

（1）若对于任意的x?R,f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若对于任意的x?[1,3],f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若对于任意的m?[?2,2],f(x)?0恒成立，求实数x的取值范围。

16. 若对任意的x1?R，存在x2?[1,2]，使不等式x1?x1x2?x2?2x1?mx2?3成立，求实数m的取值范围。

2 222

17. 某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比

CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，

CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

3

一：填空题

1. {0,1,2} 2. (2,??) 3. (??,?5] 4. 32

2 5. (?1,??) 6. [2

13,1]

[,??) 8. 7 9. ?18

5 10. 16 11. 4 12. (92514

4,9] 13. 2 14. 3

二：解答题

15. 解：（1）当m=0时，f(x)??6?0在R上恒成立，满足题意， 当m?0时，由题意得：??m?0

???m2?4m(m?6)?0，解得：m?0，

综上所述：实数m的取值范围是m?0；

（2）当m=0时，f(x)??6?0在[1, 3]上恒成立，满足题意，

当m?0时，因为函数f(x)的对称轴是x?1

2?1，

则：??m?0或?

?f(3)?7m?6?0?m?0，解得：

?f(1)?m?6?00?m?6

7或m?0，

综上所述：实数m的取值范围是m?6

7；

（3）设g(m)?(x2?x?1)m?6，则当m?[?2,2]时， f(x)?0恒成立， 等价于m?[?2,2],g(m)?0恒成立，所以??g(?2)?0??x2?x?4?0

?g(2)?0，即???x2?x?2?0，

解得：?1?x?2。

4 7.

17. 解：设BC=am（a≥1.4），CD=bm．连接BD．则BD=b –

,

则在△CDB中，，∴， ∴，设， 则， 等号成立时t=0.5＞0.4，a=1.5，b=4．

答：当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低．

18. 解：（1）设P(x，e)是函数f(x)?e图像上任一点，则它关于直线y?x对称的点axax

P，(eax，x)在函数g(x)?blnx的图像上，?x?blneax?abx，?ab?1.

（2）当a?0时，函数h(x)?f(x)?g(x)有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有

ax一个交点，两个函数关于直线y?x对称，?两个函数图像的交点就是函数f(x)?e，

的图像与直线y?x的切点.

axaxaxax，ax设切点为A(x0，e0)，x0=e0f(x)?ae，?ae0=1，?ax0=1，?x0=e0=e,

?当a?11?时，函数h(x)?f(x)?g(x)有且只有一个零点x?e； x0e

（3）当a=1时，设 r(x)?f(1?x)+g?x??x2?e1?x?lnx?x2，则

11?1?r，(x)?－e1?x＋?2x，当x??,1?时，?2x?2?1?1,－e1?x??1，r，(x)＜0， xx2??

1，当x??1,+??时，?2x?1?2?－1,－e1?x?0，r(x)＜0． x

?1??r(x)在?,???上是减函数. ?2?

5

又r(1)＝0，?不等式f(1?x)+g?x??x2解集是?1,???．

6