20xx年浙江省高考高三数学基础知识汇总

临考给你提个醒

 ☆第一部分   集合与简易逻辑

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意补集思想的应用（反证法，排除法等）。

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2；

（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况；

（3）  。

4．四种命题：

⑴原命题：若p则q；        ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若p则q；   ⑷逆否命题：若q则p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价,判断命题真假时常常借助判断其逆否命题的真假

  例：①若应是真命题.

  解：逆否：a = 2且b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

     ②     .

  解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.

    ,故是的既不是充分，又不是必要条件.

5．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：

例如：若，则A是B的充分不必要条件或B是A的必要不充分条件；等价于AB即使A成立的必要不充分条件是B

若A=B，则A是B的充要条件；

小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

例：若.  

6．逻辑连接词：

7．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”、“每一个”“任何”等，用表示；

      全称命题p：；全称命题p的否定p：。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”“有一些”等，用表示；

      特称命题p：；特称命题p的否定p：。

     ☆第二部分  函数与不等式

   ☆（一）函数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义；定义域优先原则

函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法

函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）

3．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

4．复合函数的有关问题

  （1）复合函数定义域求法：①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

 （2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数的定义域是内函数的值域。

5．函数的奇偶性

   ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

 ⑵是奇函数；

 ⑶是偶函数 ；

⑷奇函数在原点有定义，则；偶函数有=

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性；

 (7)是奇函数=有对称中心（b,0）

(8) 是偶函数=有对称轴X=b

★★典型的奇偶函数：

①   ②

※※※一般地， 

            

★★★分段函数的单调性：在R上是增函数，则满足

                     在R上是减函数，则满足

  ③④

⑤

⑥    ⑦

⑧分别为

奇函数与偶函数（k）

⑨

分别为偶函数与奇函数（k）

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时y=的图像上任意两点连线的斜率恒为正（负）

⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。

 用“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不等式表示。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

 (2)三角函数的周期

① ；② ；③；

④ ；    ⑤；

⑥

⑦

★★与周期有关的结论：

①或 的周期为；

②的图象关于点中心对称周期2；

③的图象关于直线轴对称周期为2；

④的图象关于点中心对称，直线轴对称周4；

8．幂、指、对的运算法则：（参看指数函数与对数函数全接触）

对数运算：

                                

（以上）

★★＞0，   ＞，

例如：中x＞0而中x∈R）.

当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.

9．基本初等函数的图像与性质

★★常用函数：①例函数：；②反比例函数：；特别的，

③当时，有增区间为

当时有增区间为，减区间

    利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：；

⑶对数函数:；

⑷正弦函数:；⑸余弦函数： （6）正切函数：；

⑺一元二次函数：；

10．二次函数：

⑴解析式：①一般式：；

②顶点式，为顶点；

③零点式： 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)解的讨论.

11．函数图象

  ⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法  ③导数法

  ⑵图象变换：

①  ★平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”；

              ⅱ———上“+”下“-”；

②  ★伸缩变换：

ⅰ， （———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；

ⅱ， （———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；

③  ★对称变换：ⅰ；ⅱ；

  ⅲ ； ⅳ；

④  ★翻转变换：

ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

※一般地f(x,y)=0f-----右不动，右向左翻（原来在左侧图象去掉）

ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；

ⅲ保上去下，把上翻折到下（在下侧图象去掉）；

※一般地f(x,y)=0f---保上去下，把上翻折到下（原来在下侧图象去掉）

例如：画的图像

(3)函数图象（曲线）对称性的证明：

ⅰ证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

ⅱ证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；

★①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

 ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;

 ③曲线C1:f(x,y)=0关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2方程为：

f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0)

 ④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；

★★例如：

★★f(a+x)=f(a－x)→f(x)=f(2a-x)（x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；

 ⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；

 ⑥f(x)=b-f(a-x)---→y=f(x)的图像关于点P()对称

★★f(x)=-f(2a-x)---→y=f(x)的图像关于点P()对称

★★例如：

 ⑦※与y=f(x)的图像关于点M()对称的图像的表达式为：2b-y=f（2a-x）

※与y=f(x)的图像关于直线L:Ax+By+C=0对称的图像的表达式为：

     

 ⑧

11.函数零点的求法：

   ⑴直接法（求的根）；

   ⑵图象法：若函数f(X)满足，则函数f(X)在区间（a,b）存在零点                            

☆（二）不等式

1．均值不等式：

     （1）（其中a＞0,b＞0,并且a=b是取等号）

   

值？（一正、二定、三相等）

注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，。

注意如下结论：

（2）

（3） 

 

 

（4）均值不等式的应用

判别式法：已知f(x,y)=0,求z=g(x,y)的最值

★方法：联立消去x（或y），得y(或x)的二次方程，其判别式△≥0从而求目标函数z的最值。

例如：（以下字母a、b、c、d、e、f、A、B均为大于0的常数）

①、已知X＞0,y＞0且ax+by+cxy=d,求xy的最值

②、已知X＞0,y＞0且ax+by+cxy=d,求Ax+By的最值

③、已知X＞0,y＞0且ax+by=c,求的最值

④、已知X＞0,y＞0且=c,求Ax+By的最值

  ⑤、已知,求Ax+By的最值

用判别式法分别令t=xy(或t=Ax+By、t=Ax+By、t=)从而求出y,再代入已知条件中，得到关于x的一元二次方程，由≥0求出t的最值。

★★绝对值不等式：

3．不等式的性质：

  ⑴；⑵；

  ⑶；；

  ⑷；；；

   ⑸；

 （6）。

4．不等式等证明（主要）方法：⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

  ※分式不等式的解法

  （1）标准化：移项通分化为＞0(或＜0)； ≥0(或≤0)的形式，

  （2）转化为整式不等式（组）

5.含绝对值不等式的解法

  （1）公式法：,与型的不等式的解法.

  （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

  （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

6.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

 （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

☆第三部分  三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．（1）角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角

   第一象限角的集合为

   第二象限角的集合为

   第三象限角的集合为

   第四象限角的集合为

   终边在轴上的角的集合为

   终边在轴上的角的集合为

   终边在坐标轴上的角的集合为

  与角终边相同的角的集合为

  （2）角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

（3）弧长公式：；扇形面积公式：。

2．三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；

  ，，

 ，，

  ，，

 ，，

 ，  ，      

14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

 

★对称性：

※⑴+C  对称轴：；对称中心：；

※⑵ 对称轴：；对称中心：；

※（3）    对称中心：

6．同角三角函数的基本关系：；

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

        ①

②

③ 。

8．二倍角公式：①；

②

★

★★涉及题型：

               

         

          

                  .

③。

★      

             

，        

，        

★★  

     

      

9．正、余弦定理

  ⑴正弦定理（是外接圆直径）

注：①；

    ②；

    ③。

 ⑵余弦定理：，  

           ，   

           ，              

10。几个公式:

   ⑴三角形面积公式：；

  ⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

★★.?在△ABC中:A＞Ba＞bsinA＞sinBcosAcos2A

     ?在锐角三角形△ABC中：cosA

     ?在△ABC中 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

☆第四部分   立体几何

1．三视图与直观图：

2．表（侧）面积与体积公式：

  ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h

  ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：

  ⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底+S下底；②侧面积：S侧=；③体积：V=（S+）h；

  ⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=  。

立体几何“九言真经”

相交垂直用勾股定理来证明，  异面垂直用线面垂直来证明

等腰取底边的中点三线合一，  面面垂直必须推出线面垂直，

有中点时再取中点用中位线，  线段AB上求点P用，

建系时尽量使点在坐标轴上，  未知点的坐标先设出以便求，

法向量细心算四公式要牢记。

3．位置关系的证明（主要方法）：

  ⑴直线与直线平行：①公理4；

                    ②线面平行的性质定理（m||α,aβ,αβ=nm||n)

                    ③面面平行的性质定理。(α||β,α=m,β=nm||n)

  ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；(m||n,mα,nαm||α)

                    ②面面平行线面平行。(α||β,mβm||α)

  ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

  ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；    

                                        (ma,mb,ab=A,a,b)

                    ②面面垂直的性质定理。(αβ,αβ=n,mβ,mnmα)

  ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；

                    ②面面垂直的判定定理。(mβ,mααβ)

注：理科还可用向量法。，

4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的。求法：①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

★★理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角

   

⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。

★★理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角  

   

。

⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

★★理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角 

           

。

5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）

   点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；

★★理科还可用向量法：

6．结论：

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为，则S侧cos=S底；

⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2  。

①        长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有

cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。

⑸★★正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：

①        高：；②对棱间距离：；③相邻两面所成角余弦值：；

④内切球半径=；外接球半径=；棱切球半径=,

★※球心将高四等分靠近底面的等分点处。

⑹三棱锥A-BCD的顶点在面BCD上的射影为G，则

①  AB=AC=AD(或三侧棱与底面BCD所成角相等) G是△BCD的外心

②AB,AC,AD两两垂直G是△BCD的垂心AD⊥BC,AC⊥BD,AB⊥CD

 (三棱锥A-BCD中的三对异面直线中有两对相互垂直，则第三对也相互垂直，并且顶点在对面上的射影为该面的垂心）

③当∠ABD=∠ABC时，G在∠DBC的平分线上。且COS∠ABC=COS∠ABG×COS∠GBC

   ☆第五部分   直线与圆

1．直线方程（1）点斜式： ；（2）斜截式： ；

（3）截距式： ；  （4）一般式：，（A，B不全为0）。

2．求解线性规划问题的步骤是：

  （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

★★

3．两条直线的位置关系：

 

★★①直线平行＜≠＞它们的斜率相等

   ②直线垂直它们的斜率之积为-1

4．几个公式

  ⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；

  ⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；

  ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离：；

5．圆的方程：⑴标准方程：① ；② 。

             ⑵一般方程：  （

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF＞0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

7．圆系：⑴；

   注：当时表示两圆相交时公共弦所在直线方程。

8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

  ⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）

  ①点在圆上；

  ②点在圆内；

  ③点在圆外。

  ⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）

  ①相切；②相交；③相离。

★★直线与圆相交所得弦长

  ⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）

  ①相离；②外切；③相交；

  ④内切；⑤内含。

9．与圆有关的结论：

  ⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；

  过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；

  ⑵过圆x2+y2=r2外的点M(x0,y0)的切线有两条，切点分别为A、B，

     则过A、B的直线方程为：x0x+y0y=r2；

　  过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的点M(x0,y0)的切线有两条，切点分别为A、B，

     则过A、B的直线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；

  ⑶以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。

   ☆第六部分   圆锥曲线

1．   定义：⑴椭圆：

；

    椭圆的几何性质：

          ⑵双曲线：

       双曲线的几何性质：

⑶抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线

设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

当时，轨迹为椭圆；e越小，椭圆越圆，反之越扁。

当时，轨迹为抛物线；p越大抛物线开口越大，反之越小。

当时，轨迹为双曲线；e越小，双曲线开口越小，反之越大。

2．结论:★⑴焦半径：抛物线：

★⑵弦长公式：

；

注：★（Ⅰ）焦点弦长：抛物线：＝(是直线AB的倾斜角)；

★（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：  （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；

★★⑷椭圆中的结论：①内接矩形最大面积 ：2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则 ；

③椭圆焦点三角形：

       ＜Ⅰ＞．，（）；

＜Ⅱ＞．点 是内心，交于点，则  ；

④当点与椭圆短轴顶点重合时最大；

※※椭圆的切线方程

(1)椭圆上一点处的切线方程是.

（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是  

                                 

（3）椭圆与直线相切的条件是.

★★⑸双曲线中的结论：

①双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线：；

②共渐近线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；

③双曲线焦点三角形：

           ＜Ⅰ＞．，（）；

             ＜Ⅱ＞．P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为；

④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；

※※双曲线的切线方程

(1)双曲线上一点处的切线方程是.

（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）双曲线与直线相切的条件是。

★★（6）抛物线中的结论：

①抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦AB性质：设A（），B（）在抛物线上

     ＜Ⅰ＞． x1x2=直线AB过抛物线的焦点

            y1y2=－p2直线AB过抛物线的焦点

＜Ⅱ＞． ；＜Ⅲ＞．以AB为直径的圆与准线相切；

＜Ⅳ＞．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；

＜Ⅴ＞．。

②抛物线y2=2px(p＞0)内接直角三角形OAB（的性质：

＜Ⅰ＞．；       ＜Ⅱ＞．恒过定点；

＜Ⅲ＞．中点轨迹方程：；

＜Ⅳ＞．，则轨迹方程为：；

＜Ⅴ＞． 。

  ③抛物线y2=2px(p＞0)，对称轴上一定点，则：

      ＜Ⅰ＞．当时，顶点到点A距离最小，最小值为；＜Ⅱ＞．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。

※※抛物线的切线方程

 (1)抛物线上一点处的切线方程是.

 （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

 （3）抛物线与直线相切的条件是.

3．直线与圆锥曲线问题解法：

  ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

  注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？

  ②直线斜率不存在时考虑了吗？   ③判别式验证了吗？

  ⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题

步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)为曲线上两点，弦AB的中点M（）则：

4．求轨迹的常用方法：

  （1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

☆第七部分  平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：① a∥b(b≠0)a=b （x1y2－x2y1=0；

② a⊥b(a、b≠0)a·b=0x1x2+y1y2=0   .

⑵a·b=|a||b|cos=；注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

⑶cos=；※

⑷三点共线的充要条件P，A，B三点共线；

附：（理科）P，A，B，C四点共面。

⑸=

★※★向量条件与几何条件的“翻译”

☆第八部分    数列

1．定义：

⑴等差数列

  

⑵等比数列

；

2．等差、等比数列性质

等差数列特有性质：①项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ；；

②        项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)； ；；

③        若；

④        ★若；

★★若。

★★★

3 ．数列通项的求法：

  ⑵定义法（利用等差,等比的定义）；

  ⑶公式法：累加法（）；

 ⑷叠乘法（型）；

 ⑸构造法

  （）；

  (6)迭代法；

 ⑺间接法（例如：）；

 ⑻作商法（型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。

注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

4．前项和的求法：⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

  ⑴  ；⑵利用二次函数的图象与性质。

6.常用结论

1） 1+2+3+...+n =      

 2） 1+3+5+...+(2n-1) =

  3）  

  4）   

 5）              

 6） 

                   

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