“方程的根与函数的零点”教学反思

光明中学   王国学

一、     关于课题的引入

备课时我曾经想到用“方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？”来引入课题，在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根，一开始就让学生认识到学习函数的零点的必要性。

但后来考虑到上课地点不再是学生熟悉的课室，而是换了地点，学生难免紧张，拿“方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？”这个他们没办法解决的问题，可能会加剧他们的紧张，对后面的教学不利。而且利用学生提前到的时间解他们熟悉的方程，既能缓解学生的紧张情绪，又为新课做好了准备。课后看来这一点调整还是有必要也是很好的。

二、     关于“图象在[a，b]上连续不断”

“函数y＝f（x）的图象在[a，b]上连续不断”是零点定理的第一个条件，根据以往的教学经验，学生在做题目的时候，大部分遇到的是不熟悉其图象的函数，如，等，自然就会疑惑：“该函数的图象是连续不断的吗？”很显然，我们无法从连续的角度给学生讲解，那么除了分段函数等比较特别的情况，一般的，我们可以认为，y＝f（x）在[a，b]上每一点都有定义，则y＝f（x）的图象在[a，b]上连续不断。这样从定义域的角度来判别“y＝f（x）的图象在[a，b]上是否连续不断”，虽然不太严谨，但却解决了学生的疑惑。课后，在评课的时候，部分老师提到了连续的定义，我看了录像，我当时是这么讲的“在高中阶段，y＝f（x）的图象在[a，b]上连续不断，我们可以理解为,在[a，b]上有定义，即在[a，b]上不存在某一点没定义，则图象在[a，b]上连续不断”，我板书的时候比较简单，第一个条件简单写成了“y＝f（x）在[a，b]上连续”，可能是这一点引起了老师们的思考。站在学生的角度来看，他们没学过“连续”，是不至于引起混淆的。

　　当然，在高中阶段,除了在辨析定理的时候，可能会遇到图象在[a，b]上间断，一般情况下，我们遇到的都是基本初等函数或者由基本初等函数叠加而成的函数，在其定义域的一个子区间[a，b]上，图象显然是连续不间断的。所以有老师提到淡化处理第一个条件，我觉得也是很好的。

三、     关于函数这条主线

在讲完了零点的概念后，用求方程的根来确定相应函数的零点的练习1中，（3）是求的零点。显然无法求解，，即不能从数的角度来研究这个函数的零点，则从函数的图像与与x轴交点的角度，即形的角度来研究，从而顺利过渡到下一阶段——函数零点的判定。在讲完零点定理后，给出练习2：函数的零点所在的一个区间是（　　）．既是对零点定理的熟悉和应用，也间接回答了练习1（3）。布置作业的时候提出思考题：

目的在于引发学生思考，为下一节的“用二分法求方程的近似解”做铺垫。

四、     关于用计算机作图在这一节的应用

若是在例2中，用计算机作出的对应值表，学生判断出零点所在的区间后，再用计算机作出的图象，以让学生有直观感受，则效果会改好。可惜，这一点只是在课后才想到，确实遗憾。

五、     关于从直观到抽象

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何引导学生用f（a）·f（b）<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点，教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f（a）·f（b）<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f（a）·f（b）<0。为此，我设计了一个问题串来启发学生：

现有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？    

问题： 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

问题： A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

问题：满足条件的函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？

   通过这样一个问题串由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程。在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。当然，除了这一些比较大的地方引起了我的反思之外，还有一些细节还做得不够尽善尽美，也是我今后要提升的地方。

第二篇：“方程的根与函数的零点”教学反思

“方程的根与函数的零点”教学反思

重庆中山外国语实验学校 (404500) 陈远才

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，有的学生认为也没什么可学的,有的老师也在议论这节怎么教,怎么考?。今天，两堂新授课后，与部分学生进行了交流,都认为能听懂,但是,通过作业检测,效果明显不好。总的来说，教学效果都不甚理想，暴露出了一些共同的问题，看来具有一定的代表性。下面就两堂课共同存在的问题，谈一谈需要妥善处理其中的一些问题 :

一、要让学生认识到学习函数的零点的必要性

教材是利用一元二次方程的例子来引入函数的零点。这样处理，主要是想让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。但在教学时，就得注意处理的方式了。

我这两堂课的教学都和教材一样，也是利用一个一元二次方程来引入，围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题。并且都利用了教材中的方程提出了下列问题： 方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？

结果，学生的反应都很平淡，大多数人对这个问题都不感兴趣。课后学生认为，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，老师没必要再问那么简单的问题了。由此看来，这堂课一开始就应该让学生认识到学习函数的零点的必要性。教师所选择的例子，最好是学生用已学方法不能求解的方程，这样才能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。例如，可以举下面的例子，让学生思考：

方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？

在学生对上述问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。先质疑,整堂课就活了。

二、一元二次方程根的存在的实质

当老师问到一元二次方程 x2+4x– 5＝0是否有实根时，两个班的学生很快就用根的判别式作出了判断，没有一位学生用方程相应的函数图象进行分析。于是，又引导学生作出一元二次方程相应的函数的图象，并建立方程的根与函数图象和x轴交点的联系。值得注意的是，在上述活动中，学生认为，因为一元二次方程根的判别式的大小有三种情 1

况，所以一元二次方程相应的函数图象和x轴的交点就有三种情况,看来，学生对一元二次方程根存在的本质原因都不清楚，都误以为是其判别式的大小.教学中教师必须指明,虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但其根存在的实质是相应的函数图象和x轴有交点,故对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图象来判断了。

没有揭露出方程根存在的本质原因是相应函数的零点的存在，那么就会导致学生对引入函数零点的必要性缺乏深刻的认识，以为结合函数图象并利用f(a)*f(b)的值与0的关系判断方程根的存在只是其中的一种方法或技巧，而认识不到其一般性和本质性。所以，教学在研究一元二次方程与其相应函数图象的关系时，关键要以函数图象为纽带，建立一元二次方程的根与相应函数零点之间的关系，让学生理解方程根存在的本质以及判断方程根存在的一般方法。这样，才能将所得到的判断方程根存在的方法推广到一般情况，并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图象上。

三、根据图象能否判断函数是否有零点以及零点的个数

两堂课都谈到，要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)*f(b)<0。但是，教学中却没有对证明的必要性展开讨论。结果，从课后了解到，学生都以为观察图象与x轴是否有交点，再证明是否有f(a)*f(b)<0,就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，是判断函数是否有零点以及零点的个数的唯一办法与途径。看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。

四、教学要把握内容结构，突出数学思想方法

教师首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课可以按照下列主线来展开教学：

2

（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题

教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一开始就应该从学生用已学方法不能求解的方程出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例如，可以像前面一样先提出：方程lnx＋2x－6＝0是否有实根？为什么？当学生陷入困境时，教师再逐步提出下面的问题进行引导：

1．当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？

以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。

2．以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？

以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。

3．除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？

以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。

（二）怎样突出数形结合的思想方法

数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数I”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学应该以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。但是，在两堂课中，教师却没有留给学生主动运用数形结合思想方法的空间。

3

在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。但是，两位教师却没有留给学生足够的时间去主动搭建函数图象这一桥梁，而是由教师作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后老师再给出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，虽然一定程度上也能体现数形结合的思想方法，但体现的思想层次却很低。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。

（三）如何从直观到抽象

教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：

1．如何引导学生用f(a)*f(b)<0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点

教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)*f(b)<0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)*f(b)<0。为此，我们不妨可以通过下列问题来启发学生：

（1）我们看到，当函数f(x)的图象穿过x轴时，函数f(x)的图象就与x轴产生了交点。如果不作出函数f(x)的图象，你又如何判断函数f(x)的图象与x轴有交点？

（2）函数f(x)的图象穿过x轴这是几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？

（3）函数f(x)的图象穿过x轴其实就是穿过与x轴的交点周围的部分，比如（a，b）。在区间（a，b）内，如何用代数形式来描述呢？

（4）如果函数f(x)的图象与x轴的交点为（c，0），那么函数f(x)分别在区间（a，c）和区间（c，b）上的值各有什么特点？这对我们用代数形式进行描述有何帮助？

(5)函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。

比如“f（x）＝

1X在区1，1）上有f（－1）f（1）＜0，但是f（x）＝0在4

（－1，1）上没有实数根。”

大家都觉得这个例子很精彩。确实，举反例常常不是件容易的事。

(6)函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，且有零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。

画出下列图象让学生讨论,然后得出结论

图1 图2 图3 图4

学生们认真思考，积极参与，热情很高。这样的教学可以达到促进学生发展的目的，特别是发展学生的思维能力！

(7)函数值在区间(a，b)上连续且存在零点，则它在区间(a，b)端点的函数值一定有f（a）f（b）＜0吗?

这就已经获得了函数零点存在条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间[a，b]上有零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c就是方程f（c）＝0的根。还要明确定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.

接着让学生研究：方程lnx＋2x－6＝0是否有实数根，并估计根所在区间。

大多数学生采用，在同一个坐标系中同时画出函数y＝lnx与函数y＝6－2x的图象（图

5），估计出它们交点的横坐标所在的区间是（1，3），这并不困难。教师再用几何画板画出函数f（x）＝lnx＋2x－6的图象，同样判断函数f（x）＝ lnx＋2x－6在区间（1，

3）上有一个零点。这为下一节课用“二分法”缩小区间长度寻找这个解的近似值打下伏笔。

2．如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数

要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。这同样是一个从直观到抽象的过程，教学需要处理好 5

下列两个问题：

（1）如何引导学生说明函数在某个区间内只有一个零点

当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)*f(b)<0只能说明函数f(x)在（a，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。但教学的难点正在于此，如何引导学生利用函数的单调性来说明函数在某个区间内只有一个零点？我们可以设计这样的教学环节来帮助学生理解：

①可以先给出一些只有一个零点的函数图象（图5）；

②指导学生通过观察这些图象，归纳出这些函数具有的共同性质；

③当学生发现这些函数分别在交点周围的一个区间上都单调后，再让学生思考，为什么函数在某个区间上单调则函数在该区间内就只有一个零点？

经过上述从直观到抽象的过程，学生才会真正认识到函数在某个区间上只有一个零点的条件:（1）函数f（x）（的图象）在区间[a，b]上“连续不断”；（2）f（a）f（b）＜0；（3）函数f（x）在区间（a，b）上单调.

接着让学生完成下面的练习.

函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a的取值范围. ①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 6

则

②f(x)在(0，3)内有1个零点 则??f(0)?011?a? 3?f(3)?0

（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程

证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。

方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，第一次教学就要取得成功的确不易。看来，像这些中学新增内容的教学，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。

主要参考文献：《全日制普通高中数学教学大纲（修订稿）》（新课程标准）

《新编高中数学（试验修订本）介绍》人教社中学教学室

云阳县 重庆中山外国语实验学

136xxxxxxxx 数学科论文

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